超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）

1. 系统模型
2. 控制量设计
3. 稳定性证明
- 3.1 李雅普诺夫函数
  V
  
  0
  
  V_0
  
  V0的求导过程
- 3.2 关于李雅普诺夫函数导数的结论（必读部分）
- 3.3 李雅普诺夫函数导数的变换
- 3.4 矩阵
  Q
  
  Q
  
  Q的正定性的保证
- 3.5 李雅普诺夫函数的更新
- 3.6 系统各部分总结
4. 总结

关于超螺旋滑模控制（或称超扭滑模控制）的论文有很多，但关于其具体的稳定性证明却少之又少，数学功底不强的人很容易在中间步骤被卡壳。因此，笔者在这里给出详尽的稳定性证明过程，一并将超螺旋滑模控制理论介绍给各位读者，希望能为各位带来一定的参考。

关于该理论的详细证明过程，笔者目前没有找到其他文章，因此本文可以算作是全网第一篇完全详细推导的文章，喜欢的读者可以收藏加点赞。

本文需要读者具有一定的滑模控制理论的知识，可以点击传送门进行学习：滑模控制理论（SMC）概述。强烈建议读者阅读完该文章后再来阅读本文！

1. 系统模型

一般地，对于非线性系统可以建立具有标准柯西形式的微分方程组。令状态量为

x = x_1,x_2 = \dot x_1

x=x1,x2=x˙1，则有：

{

⋅

\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f + g \cdot u \end{cases}

{x˙1=x2x˙2=f+g⋅u与传统的滑模控制相比，超螺旋控制算法使用积分来获得实际控制量，不含高频切换量，因而系统中没有抖振。

令滑模面为

s，只要满足如下方程：

{

−

∣

⋅

(

)

−

⋅

(

)

(1)

\begin{cases} \dot s = – \lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} \cdot sign (s) + \nu \\ \dot \nu = – \alpha \cdot sign(s) \tag{1} \end{cases}

{s˙=−λ∣s∣21⋅sign(s)+νν˙=−α⋅sign(s)(1)则系统即为稳定的。

2. 控制量设计

设状态

x的期望值为

x_d

xd，则跟踪误差为

−

e_1 = x_1 – x_d

e1=x1−xd 。设

−

e_2 = \dot e_1 = \dot x_1 – \dot x_d = x_2 – \dot x_d

e2=e˙1=x˙1−x˙d=x2−x˙d，并设滑模面为：

(2)

s = c_1 e_1 + e_2 \tag{2}

s=c1e1+e2(2)对其求导

⋅

−

\begin{aligned} \dot s &= c_1 \dot e_1 + \dot e_2 \\ &= c_1 e_2 + f + g \cdot u – \ddot x_d \end{aligned}

s˙=c1e˙1+e˙2=c1e2+f+g⋅u−x¨d容易看出，此时如果设

−

(

−

∣

(

)

−

⋅

(

)

(3)

u = g^{-1} \left( -f + \ddot x_d – c_1 e_2 – \lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign (s) – \alpha \cdot sign(s) \right) \tag{3}

u=g−1(−f+x¨d−c1e2−λ∣s∣21sign(s)−α⋅sign(s))(3)则

\dot s

s˙就能具有式(1)的形式。

对于(1)中参数设定为：

(

)

(4)

\dot \lambda = \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}},\\ \alpha = \lambda \varepsilon + \frac{1}{2} \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) \tag{4}

λ˙=ω12γ1
,α=λε+21(β+4ε2)(4)式中

\alpha, \beta, \varepsilon, \lambda, \omega_1, \gamma_1

α,β,ε,λ,ω1,γ1均大于零。

3. 稳定性证明

容易看出，与传统滑模控制不同的是，

u中含有的不再是滑模面

s，而是其多项式

∣

(

)

\left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s)

∣s∣21sign(s)。除此之外，在

\dot s

s˙表达式中还出现了另一个参数

\nu

ν（式(1)）。不妨把这两者设定为新的状态变量，在此基础上设成李雅普诺夫函数。

令

{

∣

(

)

(5)

\begin{cases} z_1 = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s) \\ z_2 = \nu \end{cases} \tag{5}

{z1=∣s∣21sign(s)z2=ν(5)则对应的各自导数为

{

∣

−

∣

−

(

−

∣

(

)

−

⋅

(

)

−

⋅

(

)

(6)

\begin{cases} \dot z_1 = \frac{1}{2} \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}} \dot s = \frac{1}{2} \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}} \left( -\lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s) – \alpha \cdot sign(s) \right) \\ \dot z_2 = \dot \nu = – \alpha \cdot sign(s) \end{cases} \tag{6}

{z˙1=21∣s∣−21s˙=21∣s∣−21(−λ∣s∣21sign(s)−α⋅sign(s))z˙2=ν˙=−α⋅sign(s)(6)又因为

∣

\left| z_1 \right| = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}}

∣z1∣=∣s∣21，故

∣

−

\frac{1}{\left| z_1 \right|} = \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}}

∣z1∣1=∣s∣−21。故式(6)即为

{

∣

(

−

)

−

⋅

(

)

−

⋅

(

)

⋅

∣

⋅

∣

−

∣

(7)

\begin{cases} \dot z_1 = \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) \\ \dot z_2 = \dot \nu = – \alpha \cdot sign(s) = – \alpha \cdot sign(s) \cdot \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} \cdot \left| s \right| ^{-\frac{1}{2}} = -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \end{cases} \tag{7}

{z˙1=2∣z1∣1(−λz1+z2)z˙2=ν˙=−α⋅sign(s)=−α⋅sign(s)⋅∣s∣21⋅∣s∣−21=−∣z1∣αz1(7)即：

{

∣

(

−

)

−

∣

(7)

\begin{cases} \dot z_1 = \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) \\ \dot z_2 = -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \end{cases} \tag{7}

{z˙1=2∣z1∣1(−λz1+z2)z˙2=−∣z1∣αz1(7)设新的状态变量为

[

]

Z = \left[ \begin{matrix} z_1 \\ z_2 \end{matrix} \right]

Z=[z1z2]并定义李雅普诺夫函数为

(

)

−

(8)

V_0 =\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1^2 + z_2^2 – 4 \varepsilon z_1 z_2 = Z^T P Z \tag{8}

V0=(β+4ε2)z12+z22−4εz1z2=ZTPZ(8)其中

[

−

]

(9)

P = \left[ \begin{matrix} \beta + 4 \varepsilon^2 & -2 \varepsilon \\ -2 \varepsilon & 1 \end{matrix} \right] \tag{9}

P=[β+4ε2−2ε−2ε1](9)

定理1：矩阵

A正定的充要条件是矩阵

A的所有特征根均大于零。

根据定理1不难得出矩阵

P是正定的，因而李雅普诺夫函数

≥

V_0 \geq 0

V0≥0。

3.1 李雅普诺夫函数

V

0

V_0

V0的求导过程

直接对(8)求导。

(

)

−

(

)

⋅

∣

(

−

)

(

−

∣

)

−

⋅

∣

(

−

)

−

(

−

∣

)

−

∣

(

)

∣

(

)

−

∣

−

∣

[

−

(

)

]

∣

[

(

)

−

]

−

∣

[

−

(

)

(

)

−

(

)

−

]

−

∣

(10)

\begin{aligned} \dot V_0 &= 2 \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 \dot z_1 +2 z_2 \dot z_2 – 4 \varepsilon z_2 \dot z_1 – 4 \varepsilon z_1 \dot z_2 \\ &= 2 \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 \cdot \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) + 2 z_2 \left( -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \right) – 4 \varepsilon z_2 \cdot \frac{1}{2 \left| z_1 \right| } \left( -\lambda z_1 + z_2 \right) – 4 \varepsilon z_1 \left( -\frac{\alpha}{ \left| z_1 \right| } z_1 \right) \\ &= – \frac{\lambda}{\left| z_1 \right| } \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1^2 + \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) z_1 z_2 – \frac{2 \alpha}{\left| z_1 \right| } z_1 z_2 + \frac{2 \lambda \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_1 z_2 – \frac{2 \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_2^2 + \frac{4 \alpha \varepsilon}{\left| z_1 \right| } z_1^2 \\ &= \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left[ 4 \alpha \varepsilon – \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) \right] z_1^2 + \frac{1}{\left| z_1 \right| } \left[ \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) – 2 \alpha + 2 \lambda \varepsilon \right] z_1 z_2 – \frac{2 \varepsilon}{ \left| z_1 \right| } z_2^2 \\ &= \frac{1}{\left| z_1 \right| } Z^T \left[ \begin{matrix} 4 \alpha \varepsilon – \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad \qquad \quad \frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) – \alpha + \lambda \varepsilon \\ \frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) – \alpha + \lambda \varepsilon & \qquad \qquad \quad -2 \varepsilon \end{matrix} \right] Z \\ &= -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZ \end{aligned} \tag{10}

V˙0=2(β+4ε2)z1z˙1+2z2z˙2−4εz2z˙1−4εz1z˙2=2(β+4ε2)z1⋅2∣z1∣1(−λz1+z2)+2z2(−∣z1∣αz1)−4εz2⋅2∣z1∣1(−λz1+z2)−4εz1(−∣z1∣αz1)=−∣z1∣λ(β+4ε2)z12+∣z1∣1(β+4ε2)z1z2−∣z1∣2αz1z2+∣z1∣2λεz1z2−∣z1∣2εz22+∣z1∣4αεz12=∣z1∣1[4αε−λ(β+4ε2)]z12+∣z1∣1[(β+4ε2)−2α+2λε]z1z2−∣z1∣2εz22=∣z1∣1ZT[4αε−λ(β+4ε2)21(β+4ε2)−α+λε21(β+4ε2)−α+λε−2ε]Z=−∣z1∣1ZTQZ(10)注意(10)中最后一个等号前加了负号。这样

Q即为

[

−

(

)

−

(

)

−

(

)

−

]

(11)

Q = \left[ \begin{matrix} -4 \alpha \varepsilon + \lambda \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) & \qquad -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha – \lambda \varepsilon \\ -\frac{1}{2}\left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right) + \alpha – \lambda \varepsilon & \qquad 2 \varepsilon \end{matrix} \right] \tag{11}

Q=[−4αε+λ(β+4ε2)−21(β+4ε2)+α−λε−21(β+4ε2)+α−λε2ε](11)这样我们得到李雅普诺夫函数的导数：

−

∣

(12)

\dot V_0 = -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZ \tag{12}

V˙0=−∣z1∣1ZTQZ(12)

3.2 关于李雅普诺夫函数导数的结论（必读部分）

我们把式(11)所代表的

Q表示为

[

]

Q = \left[ \begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix} \right]

Q=[ACBD]下面开始求

Q的特征根的一般形式。

∣

−

∣

−

∣

−

(

)

−

\left| pI – Q \right| = \left| \begin{matrix} p-A & -B \\ -C & p-D \end{matrix} \right| = p^2 – (A+D) p + AD – BC

∣pI−Q∣=∣
∣p−A−C−Bp−D∣
∣=p2−(A+D)p+AD−BC

−

(

)

−

(

−

)

(

−

)

\Delta = b^2 – 4ac = (A+D)^2 – 4(AD – BC) = (A-D)^2 +4BC

Δ=b2−4ac=(A+D)2−4(AD−BC)=(A−D)2+4BC特征根为

(

)

(

−

)

p_{1,2} (Q) = \frac{A+D \pm \sqrt{(A-D)^2 +4BC}}{2}

p1,2(Q)=2A+D±(A−D)2+4BC
设两个特征根中大的为

max

⁡

(

)

q_{\max}(Q)

qmax(Q)，小的为

min

⁡

(

)

q_{\min}(Q)

qmin(Q)，有

{

max

⁡

(

)

(

−

)

min

⁡

(

)

−

(

−

)

\begin{cases} p_{\max}(Q) = \frac{A+D + \sqrt{(A-D)^2 +4BC}}{2} \\ p_{\min} (Q)= \frac{A+D – \sqrt{(A-D)^2 +4BC}}{2} \end{cases}

⎩
⎨
⎧pmax(Q)=2A+D+(A−D)2+4BC
pmin(Q)=2A+D−(A−D)2+4BC
为方便表示，把根号部分记为

R，进而

min

⁡

(

)

−

(

)

(13)

p_{\min} (Q)Z^TZ = \frac{A+D – R}{2} \left( z_1^2 + z_2^2 \right) \tag{13}

pmin(Q)ZTZ=2A+D−R(z12+z22)(13)另一方面有

(

)

(14)

Z^TQZ = A z_1^2 + (B+C)z_1 z_2 + D z_2^2 \tag{14}

ZTQZ=Az12+(B+C)z1z2+Dz22(14)为比较

min

⁡

(

)

p_{\min} (Q)Z^TZ

pmin(Q)ZTZ与

Z^TQZ

ZTQZ的大小，不妨作差：

(

−

min

⁡

(

)

(

)

−

[

−

]

(

)

(

−

)

(

−

)

(

)

(

−

)

[

−

(

)

−

]

(

−

)

[

(

−

)

−

(

−

)

(

)

(

−

)

−

(

−

)

]

(

−

)

[

(

−

)

(

)

(

−

)

]

(

−

)

[

(

−

)

(

)

(

−

)

−

]

(

−

)

[

(

−

)

(

−

)

(

−

)

]

(15)

\begin{aligned} 2 \left( Z^TQZ – p_{\min} (Q)Z^TZ \right) &= 2A z_1^2 +2(B+C)z_1 z_2 + 2D z_2^2 – \left[ A+D – R \right] (z_1^2 + z_2^2 ) \\ &= \left( A – D + R \right) z_1^2 + \left( D-A+R \right) z_2^2 + 2 (B+C) z_1 z_2 \\ &= \left( A – D + R \right) \left[ z_1^2 + \frac{D-A+R}{A-D+R} z_2^2 + \frac{2(B+C)}{A-D+R}z_1 z_2 \right]\\ &= \left( A – D + R \right) \left[ z_1^2 + \frac{( R + D – A)^2}{R^2 – (D-A)^2} z_2^2 + \frac{2(B+C)(R+D-A)}{R^2 – (D-A)^2}z_1 z_2 \right] \\ &= \left( A – D + R \right) \left[ z_1^2 + \frac{(R+D-A)^2}{4BC}z_2^2 + \frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}z_1 z_2 \right] \\ &= \left( A – D + R \right) \left[ \left( z_1 + \frac{R+D-A}{2 \sqrt{BC}}z_2 \right)^2 + \frac{2(B+C)(R+D-A)}{4BC}z_1 z_2 – \frac{R+D-A}{\sqrt{BC}}z_1 z_2 \right] \\ &= \left( A – D + R \right) \left[ \left( z_1 + \frac{R+D-A}{2 \sqrt{BC}}z_2 \right)^2 + \frac{(R+D-A)(2B+2C-4\sqrt{BC})}{4BC}z_1 z_2 \right] \tag{15} \end{aligned}

2(ZTQZ−pmin(Q)ZTZ)=2Az12+2(B+C)z1z2+2Dz22−[A+D−R](z12+z22)=(A−D+R)z12+(D−A+R)z22+2(B+C)z1z2=(A−D+R)[z12+A−D+RD−A+Rz22+A−D+R2(B+C)z1z2]=(A−D+R)[z12+R2−(D−A)2(R+D−A)2z22+R2−(D−A)22(B+C)(R+D−A)z1z2]=(A−D+R)[z12+4BC(R+D−A)2z22+4BC2(B+C)(R+D−A)z1z2]=(A−D+R)[(z1+2BC
R+D−Az2)2+4BC2(B+C)(R+D−A)z1z2−BC
R+D−Az1z2]=(A−D+R)[(z1+2BC
R+D−Az2)2+4BC(R+D−A)(2B+2C−4BC
)z1z2](15)对于(15)，式中

(

−

)

\left( A-D+R \right)

(A−D+R)为常数项；因此最后结果可看成由2部分组成，第一部分为完全平方式，大于等于零；而对于第二部分的分子来说又分为

−

R+D-A

R+D−A和

−

2B+2C-4\sqrt{BC}

2B+2C−4BC
两部分。其中：

−

(

−

)

−

(

−

)

−

(

−

)

≥

R+D-A = \sqrt{(A-D)^2 +4BC} +D-A = \sqrt{(A-D)^2 +4BC} – (A-D) \geq 0

R+D−A=(A−D)2+4BC
+D−A=(A−D)2+4BC
−(A−D)≥0而根据绝对不等式

−

≥

−

2B+2C-4\sqrt{BC} \geq 4 \sqrt{BC} – 4 \sqrt{BC} = 0

2B+2C−4BC
≥4BC
−4BC
=0故式(15)的第二部分也大于等于零。

到这里我们总结可以得到：

−

min

⁡

(

)

≥

Z^TQZ – p_{\min}(Q) Z^TZ \geq 0

ZTQZ−pmin(Q)ZTZ≥0即

min

⁡

(

)

≤

(16)

p_{\min}(Q) Z^TZ \leq Z^TQZ \tag{16}

pmin(Q)ZTZ≤ZTQZ(16)同理可以得

max

⁡

(

)

≥

(17)

p_{\max} (Q)Z^TZ \geq Z^TQZ \tag{17}

pmax(Q)ZTZ≥ZTQZ(17)

3.3 李雅普诺夫函数导数的变换

式(17)是对

−

∣

\dot V_0 = -\frac{1}{\left| z_1 \right| }Z^TQZ

V˙0=−∣z1∣1ZTQZ作出的，对于

V_0 = Z^TPZ

V0=ZTPZ同样根据式(17)有

max

⁡

(

)

≥

⟹

(

)

≤

max

⁡

(

)

(

)

max

⁡

(

)

∣

⟹

∣

≥

(

)

max

⁡

(

)

max

⁡

(

)

(18)

p_{\max} (P)Z^TZ \geq Z^TPZ \Longrightarrow \\ \left( Z^TPZ \right)^{\frac{1}{2}} \leq p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)\left( Z^T Z \right)^{\frac{1}{2}} = p_{\max}^{\frac{1}{2}} (P)\left| \left| Z \right| \right| \Longrightarrow \\ \left| \left| Z \right| \right| \geq \frac{\left( Z^TPZ \right)^{\frac{1}{2}}}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} = \frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} \tag{18}

pmax(P)ZTZ≥ZTPZ⟹(ZTPZ)21≤pmax21(P)(ZTZ)21=pmax21(P)∣∣Z∣∣⟹∣∣Z∣∣≥pmax21(P)(ZTPZ)21=pmax21(P)V021(18)另一方面

∣

(

∣

(

)

∣

≥

∣

(19)

\left| \left| Z \right| \right| = \sqrt{z_1^2 + z_2^2} = \sqrt{\left( \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s)\right)^2 + \nu^2} = \sqrt{\left| s \right| + \nu^2} \geq \sqrt{\left| s \right|} = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} = \left| z_1 \right| \tag{19}

∣∣Z∣∣=z12+z22
=(∣s∣21sign(s))2+ν2
=∣s∣+ν2
≥∣s∣
=∣s∣21=∣z1∣(19)由(19)推出

∣

≤

∣

⟹

−

∣

≤

−

∣

(20)

\left| z_1 \right| = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} \leq \left| \left| Z \right| \right| \Longrightarrow \\ -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} \leq – \frac{1}{\left| \left| Z \right| \right|} \tag{20}

∣z1∣=∣s∣21≤∣∣Z∣∣⟹−∣z1∣1≤−∣∣Z∣∣1(20)又根据(16)：

−

∣

≤

−

∣

min

⁡

(

)

−

∣

min

⁡

(

)

∣

≤

−

∣

min

⁡

(

)

∣

−

min

⁡

(

)

∣

\begin{aligned} \dot V_0 &= -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} Z^T Q Z \leq -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} p_{\min}(Q) Z^TZ \\ &= -\frac{1}{ \left| z_1 \right|} p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| ^2 \leq – \frac{1}{\left| \left| Z \right| \right| }p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| ^2 \\ &= -p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| \end{aligned}

V˙0=−∣z1∣1ZTQZ≤−∣z1∣1pmin(Q)ZTZ=−∣z1∣1pmin(Q)∣∣Z∣∣2≤−∣∣Z∣∣1pmin(Q)∣∣Z∣∣2=−pmin(Q)∣∣Z∣∣再根据(18)

≤

−

min

⁡

(

)

∣

≤

−

min

⁡

(

)

max

⁡

(

)

−

(21)

\dot V_0 \leq -p_{\min}(Q) \left| \left| Z \right| \right| \leq -p_{\min}(Q)\frac{V_0^{\frac{1}{2}}}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} = -r V_0 ^{\frac{1}{2}} \tag{21}

V˙0≤−pmin(Q)∣∣Z∣∣≤−pmin(Q)pmax21(P)V021=−rV021(21)其中

min

⁡

(

)

max

⁡

(

)

(22)

r = \frac{p_{\min}(Q)}{p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)} \tag{22}

r=pmax21(P)pmin(Q)(22)

定理2：若系统的李雅普诺夫函数满足

≤

−

(

)

\dot V \leq – r V ^{\frac{1}{2}}, \qquad \left( r >0 \right)

V˙≤−rV21,(r>0)则系统具有稳定性。

3.4 矩阵

Q

Q

Q的正定性的保证

根据定理2，式(21)保证了系统具有李雅普诺夫稳定性。读者可能注意到，式(21)只有在

≥

r \geq 0

r≥0的情况下才能保证系统稳定性，而根据式(22)，即需要

min

⁡

(

)

p_{\min}(Q)

pmin(Q)和

max

⁡

(

)

p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P)

pmax21(P)均大于等于零。由于矩阵

P为正定的，因此

max

⁡

(

)

p_{\max}^{\frac{1}{2}}(P) > 0

pmax21(P)>0立即得证；下面需要保证

min

⁡

(

)

p_{\min}(Q) > 0

pmin(Q)>0，即保证矩阵

Q的正定性。

这里再次列出

Q的表达式：

[

−

(

)

−

(

)

−

(

)

−

]

Q=[−4αε+λ(β+4ε2)−21(β+4ε2)+α−λε−21(β+4ε2)+α−λε2ε]不妨直接取

(

)

(23)

\alpha = \lambda \varepsilon + \frac{1}{2} \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right) \tag{23}

α=λε+21(β+4ε2)(23)这样

Q可以化简为一个对角矩阵

[

(

−

)

(

)

−

]

Q = \left[ \begin{matrix} \left(\lambda – 2 \varepsilon \right) \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right) – 4 \lambda \varepsilon^2 & \quad 0 \\ 0 & \quad 2 \varepsilon \end{matrix} \right]

Q=[(λ−2ε)(β+4ε2)−4λε2002ε]并能够一眼看出

Q的特征根为

(

)

(

−

)

(

)

−

(

)

p_1(Q) = \left(\lambda – 2 \varepsilon \right) \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right) – 4 \lambda \varepsilon^2, \\ p_2 (Q) = 2 \varepsilon

p1(Q)=(λ−2ε)(β+4ε2)−4λε2,p2(Q)=2ε其中

(

)

p_2 (Q) = 2 \varepsilon > 0

p2(Q)=2ε>0立即得证，为保证

(

)

p_1(Q) > 0

p1(Q)>0，需要有

(

)

(24)

\lambda > \frac{2 \varepsilon \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right)}{\beta} \tag{24}

λ>β2ε(β+4ε2)(24)

3.5 李雅普诺夫函数的更新

在3.4一节中给出了保证矩阵

Q正定性的条件。由于

\alpha, \lambda

α,λ两参数是人为给出的，因此需要把这两个因素加入到李雅普诺夫函数中，构建新的李雅普诺夫函数：

(

−

∗

)

(

−

∗

)

(25)

V = V_0 + \frac{1}{2 \gamma_1} \left( \lambda – \lambda^* \right)^2 + \frac{1}{2 \gamma_2} \left( \alpha – \alpha^* \right)^2 \tag{25}

V=V0+2γ11(λ−λ∗)2+2γ21(α−α∗)2(25)其中

∗

\lambda^*, \alpha^*

λ∗,α∗为常数（未知）。

对其求导得下式(26)：

(

−

∗

)

(

−

∗

)

≤

−

(

−

∗

)

(

−

∗

)

−

(

−

∗

)

(

−

∗

)

−

∣

−

∗

∣

−

∗

∣

−

∣

−

∗

∣

−

∗

∣

(26)

\dot V = \dot V_0 + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda – \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha – \alpha^* \right) \dot \alpha \\ \leq -r V_0 ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda – \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha – \alpha^* \right) \dot \alpha \\ = -r V_0 ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda – \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha – \alpha^* \right) \dot \alpha – \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda – \lambda^* \right| + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda – \lambda^* \right| – \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha – \alpha^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha – \alpha^* \right| \tag{26}

V˙=V˙0+γ11(λ−λ∗)λ˙+γ21(α−α∗)α˙≤−rV021+γ11(λ−λ∗)λ˙+γ21(α−α∗)α˙=−rV021+γ11(λ−λ∗)λ˙+γ21(α−α∗)α˙−2γ1
ω1∣λ−λ∗∣+2γ1
ω1∣λ−λ∗∣−2γ2
ω2∣α−α∗∣+2γ2
ω2∣α−α∗∣(26)根据

(

)

≤

∣

\left( x^2 + y^2 + z^2 \right)^{\frac{1}{2}} \leq \left| x \right| + \left| y \right| + \left| z \right|

(x2+y2+z2)21≤∣x∣+∣y∣+∣z∣有

−

∣

−

∗

∣

−

∣

−

∗

∣

≤

−

[

(

−

∗

)

(

−

∗

)

]

−rV021−2γ1
ω1∣λ−λ∗∣−2γ2
ω2∣α−α∗∣≤−[r2V0+2γ1ω12(λ−λ∗)2+2γ2ω22(α−α∗)2]21设

r, \omega_1, \omega_2

r,ω1,ω2中最小的数为

min

⁡

(

)

n = \min(r, \omega_1, \omega_2)

n=min(r,ω1,ω2)，则上式为

−

∣

−

∗

∣

−

∣

−

∗

∣

≤

−

[

(

−

∗

)

(

−

∗

)

]

≤

−

[

(

−

∗

)

(

−

∗

)

]

−

-r V_0 ^{\frac{1}{2}} – \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda – \lambda^* \right| – \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha – \alpha^* \right| \leq – \left[ r^2 V_0 + \frac{\omega_1^2}{2 \gamma_1} \left( \lambda – \lambda^* \right)^2 + \frac{\omega_2^2}{2 \gamma_2} \left( \alpha – \alpha^* \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} \\ \leq – n \left[ V_0 + \frac{1}{2 \gamma_1} \left( \lambda – \lambda^* \right)^2 + \frac{1}{2 \gamma_2} \left( \alpha – \alpha^* \right)^2 \right]^{\frac{1}{2}} \\ = -n V^{\frac{1}{2}}

−rV021−2γ1
ω1∣λ−λ∗∣−2γ2
ω2∣α−α∗∣≤−[r2V0+2γ1ω12(λ−λ∗)2+2γ2ω22(α−α∗)2]21≤−n[V0+2γ11(λ−λ∗)2+2γ21(α−α∗)2]21=−nV21于是代入(26)有

≤

−

(

−

∗

)

(

−

∗

)

−

∣

−

∗

∣

−

∗

∣

−

∣

−

∗

∣

−

∗

∣

≤

−

(

−

∗

)

(

−

∗

)

∣

−

∗

∣

−

∗

∣

(27)

\dot V \leq -r V_0 ^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda – \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha – \alpha^* \right) \dot \alpha – \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda – \lambda^* \right| + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda – \lambda^* \right| – \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha – \alpha^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha – \alpha^* \right| \\ \leq -n V^{\frac{1}{2}}+ \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda – \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha – \alpha^* \right) \dot \alpha + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda – \lambda^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha – \alpha^* \right| \tag{27}

V˙≤−rV021+γ11(λ−λ∗)λ˙+γ21(α−α∗)α˙−2γ1
ω1∣λ−λ∗∣+2γ1
ω1∣λ−λ∗∣−2γ2
ω2∣α−α∗∣+2γ2
ω2∣α−α∗∣≤−nV21+γ11(λ−λ∗)λ˙+γ21(α−α∗)α˙+2γ1
ω1∣λ−λ∗∣+2γ2
ω2∣α−α∗∣(27)由于

∗

\lambda^*, \alpha^*

λ∗,α∗为常数，不妨假设恒有

∗

\lambda^*>\lambda, \alpha^*>\alpha

λ∗>λ,α∗>α。由于李雅普诺夫稳定性只要证明李雅普诺夫函数存在即可，因此总能找到这样的

∗

\lambda^*, \alpha^*

λ∗,α∗，该假设是合理的。

此时式(27)为

≤

−

(

−

∗

)

(

−

∗

)

∣

−

∗

∣

−

∗

∣

−

∣

−

∗

∣

−

∣

−

∗

∣

−

∗

∣

−

∗

∣

−

∣

−

∗

∣

(

−

)

∣

−

∗

∣

(

−

)

(28)

\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{\gamma_1} \left( \lambda – \lambda^* \right) \dot \lambda + \frac{1}{\gamma_2} \left( \alpha – \alpha^* \right) \dot \alpha + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda – \lambda^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha – \alpha^* \right| \\ = -n V^{\frac{1}{2}} – \frac{1}{\gamma_1} \left| \lambda – \lambda^* \right| \dot \lambda – \frac{1}{\gamma_2} \left| \alpha – \alpha^* \right| \dot \alpha + \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} \left| \lambda – \lambda^* \right| + \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} \left| \alpha – \alpha^* \right| \\ = -n V^{\frac{1}{2}} + \left| \lambda – \lambda^* \right| \left( \frac{\omega_1}{\sqrt{2 \gamma_1}} – \frac{ \dot \lambda}{\gamma_1} \right) + \left| \alpha – \alpha^* \right| \left( \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} – \frac{ \dot \alpha}{\gamma_2} \right) \tag{28}

V˙≤−nV21+γ11(λ−λ∗)λ˙+γ21(α−α∗)α˙+2γ1
ω1∣λ−λ∗∣+2γ2
ω2∣α−α∗∣=−nV21−γ11∣λ−λ∗∣λ˙−γ21∣α−α∗∣α˙+2γ1
ω1∣λ−λ∗∣+2γ2
ω2∣α−α∗∣=−nV21+∣λ−λ∗∣(2γ1
ω1−γ1λ˙)+∣α−α∗∣(2γ2
ω2−γ2α˙)(28)

此时若令

(29)

\dot \lambda = \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}} \tag{29}

λ˙=ω12γ1
(29)即可使式(28)变为

≤

−

∣

−

∗

∣

(

−

)

−

(30)

\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} + \left| \alpha – \alpha^* \right| \left( \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} – \frac{ \dot \alpha}{\gamma_2} \right) = -n V^{\frac{1}{2}} + \eta \tag{30}

V˙≤−nV21+∣α−α∗∣(2γ2
ω2−γ2α˙)=−nV21+η(30)其中

∣

−

∗

∣

(

−

)

(31)

\eta = \left| \alpha – \alpha^* \right| \left( \frac{\omega_2}{\sqrt{2 \gamma_2}} – \frac{ \dot \alpha}{\gamma_2} \right) \tag{31}

η=∣α−α∗∣(2γ2
ω2−γ2α˙)(31)根据定理2，式(30)使得系统具有稳定性。

3.6 系统各部分总结

系统具有如下为标准柯西形式：

{

⋅

\begin{cases} \dot x_1 = x_2 \\ \dot x_2 = f + g \cdot u \end{cases}

{x˙1=x2x˙2=f+g⋅u设计滑模面为

s = c_1 e_1 + e_2

s=c1e1+e2以及控制量

u：

−

(

−

∣

(

)

−

⋅

(

)

u = g^{-1} \left( -f + \ddot x_d – c_1 e_2 – \lambda \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign (s) – \alpha \cdot sign(s) \right)

u=g−1(−f+x¨d−c1e2−λ∣s∣21sign(s)−α⋅sign(s))并设计自适应律为

(

)

(

)

\dot \lambda = \omega_1 \sqrt{\frac{\gamma_1}{2}} \\ \lambda > \frac{2 \varepsilon \left( \beta + 4 \varepsilon ^2 \right)}{\beta} \\ \alpha = \lambda \varepsilon + \frac{1}{2} \left( \beta + 4 \varepsilon^2 \right)

λ˙=ω12γ1
λ>β2ε(β+4ε2)α=λε+21(β+4ε2)则系统具有稳定性：

≤

−

\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} + \eta

V˙≤−nV21+η

4. 总结

就笔者而言，超螺旋滑模控制内容的精髓在于巧妙设计了状态量

∣

(

)

z_1 = \left| s \right| ^{\frac{1}{2}} sign(s)

z1=∣s∣21sign(s)，使得后续的导数与不等式计算大大简化，很多项可以巧妙消去。此外，尽管在(29)中不等式右边有正数项

\eta

η的存在，系统依然可以在一定限度内保持稳定，原因在于我们证明了

≤

−

≤

\dot V \leq -n V^{\frac{1}{2}} \leq 0

V˙≤−nV21≤0而非传统的

≤

\dot V \leq 0

V˙≤0，这更大程度上能够保证系统稳定性。

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超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）

超螺旋滑模控制详细介绍（全网独家）

1. 系统模型

2. 控制量设计

3. 稳定性证明

3.1 李雅普诺夫函数 V 0 V_0 V0​的求导过程

3.2 关于李雅普诺夫函数导数的结论（必读部分）

3.3 李雅普诺夫函数导数的变换

3.4 矩阵 Q Q Q的正定性的保证

3.5 李雅普诺夫函数的更新

3.6 系统各部分总结

4. 总结

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3.1 李雅普诺夫函数

V

0

V_0

V0的求导过程

3.4 矩阵

Q

Q

Q的正定性的保证