高数【积分-不定积分】–猴博士爱讲课

第五课上《积分-不定积分》

1/6 直接套公式算不定积分

⑧

∫

t

a

n

x

d

x

=

∫

s

i

n

x

c

o

s

x

d

x

=

∫

1

c

o

s

x

d

(

−

c

o

s

x

)

=

−

l

n

∣

c

o

s

x

∣

+

C

⑨

∫

c

o

t

x

d

x

=

∫

1

t

a

n

x

d

x

=

∫

c

o

s

x

s

i

n

x

d

x

=

∫

1

s

i

n

x

d

(

s

i

n

x

)

=

l

n

∣

s

i

n

x

∣

+

C

(

t

a

n

x

)

‘

=

s

e

c

2

x

,

t

a

n

2

x

+

1

=

s

e

c

2

x

[

十七

]

∫

d

x

a

2

+

x

2

=

∫

d

x

a

2

(

1

+

(

x

/

a

)

)

2

=

∫

d

(

x

/

a

)

a

(

1

+

(

x

/

a

)

)

2

=

1

a

a

r

c

t

a

n

(

x

a

)

+

C

[

十六

]

∫

d

x

a

2

−

x

2

=

∫

d

x

a

1

−

(

x

/

a

)

2

=

∫

d

(

x

/

a

)

1

−

(

x

/

a

)

2

=

a

r

c

s

i

n

(

x

/

a

)

+

C

[

二十

]

令

x

=

a

t

a

n

x

和

x

=

a

s

e

c

x

【具体参考张宇基础

30

讲

P

110

】

⑧ \int tanx dx=\int \frac{sinx}{cosx} dx =\int \frac{1}{cosx} d(-cosx)=-ln|cosx|+C \\ ⑨ \int cotx dx=\int \frac{1}{tanx} dx =\int \frac{cosx}{sinx} dx=\int \frac{1}{sinx} d(sinx)=ln|sinx|+C \\ (tanx)^`=sec^2x,tan^2x+1=sec^2x \\ [十七] \int \frac{dx}{a^2+x^2}=\int \frac{dx}{a^2(1+(x/a))^2}=\int \frac{d(x/a)}{a(1+(x/a))^2}=\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})+C \\ [十六] \int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int \frac{dx}{a\sqrt{1-(x/a)^2}}=\int \frac{d(x/a)}{\sqrt{1-(x/a)^2}}=arcsin(x/a)+C \\ [二十] 令x=atanx和x=asecx\\ 【具体参考张宇基础30讲P110】

⑧∫tanxdx=∫cosxsinx​dx=∫cosx1​d(−cosx)=−ln∣cosx∣+C⑨∫cotxdx=∫tanx1​dx=∫sinxcosx​dx=∫sinx1​d(sinx)=ln∣sinx∣+C(tanx)‘=sec2x,tan2x+1=sec2x[十七]∫a2+x2dx​=∫a2(1+(x/a))2dx​=∫a(1+(x/a))2d(x/a)​=a1​arctan(ax​)+C[十六]∫a2−x2
​dx​=∫a1−(x/a)2
​dx​=∫1−(x/a)2
​d(x/a)​=arcsin(x/a)+C[二十]令x=atanx和x=asecx【具体参考张宇基础30讲P110】

2/6 设一部分再算的不定积分

换元法

【补充：凑微分法】

3/6 多项相加的不定积分

4/6 两项相乘的不定积分

【具体参考张宇基础

30

讲

P

112

】

【具体参考张宇基础30讲P112】

【具体参考张宇基础30讲P112】

5/6 sin、cos相乘的不定积分

c

o

s

2

x

=

c

o

s

2

x

−

s

i

n

2

x

=

2

c

o

s

2

x

−

1

=

1

−

2

s

i

n

2

x

cos2x=cos^2x-sin^2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x

cos2x=cos2x−sin2x=2cos2x−1=1−2sin2x

6/6 x²加减常数项的不定积分