MPC(模型预测控制)-Simulink仿真

文章目录

• • • 一、为什么使用MPC控制器?
    • 二、什么是MPC控制器?
    • 三、MPC控制器的参数如何设置?
    • • 3.1 采样时间
      • 3.2 预测范围、控制范围
      • 3.3 约束条件
      • 3.4 权重
    • 四、自适应增益调度和非线性MPC
    • 五、Simulink仿真MPC控制器
    • • 5.1 数学分析
      • 5.2 实验过程

一、为什么使用MPC控制器?

• ① MPC可以处理多输入耦合控制多输出的问题:

  

• ② MPC可以处理对于控制量有约束的问题

  比如，驾驶汽车的时候，汽车速度和转角都有上限

• ③ MPC具有预测效果

  即MPC考虑的不是根据当前参考值进行控制，而是根据预测时间内的参考去预测当前的控制量，比如在小车转弯时，就避免了可能在过弯处急转弯。

MPC需要的算力高一些，因为MPC控制过程中，每个时间步都要求解一个相同形式不同参数的优化问题。

二、什么是MPC控制器?

• 小车的数学模型:

item	inputs	outputs
Plant Model(被控对象的数学模型)	之后m个控制量	之后p个时间步的预测输出

• 优化器：

item	inputs	outputs
优化器	(数学模型, 之后p个时间步的参考轨迹, 约束条件)	之后m个控制量

​ 优化器要考虑两点:

​ ① 预测轨迹与参考轨迹偏差最小

​ ②控制量不突变

C

o

s

t

F

u

n

c

t

i

o

n

≐

J

=

∑

i

=

1

p

w

e

e

k

+

i

2

+

∑

i

=

0

p

−

1

w

Δ

u

Δ

u

k

+

i

2

Cost Function \doteq J = \sum_{i=1}^{p} w_e e_{k+i}^2 + \sum_{i=0}^{p-1} w_{\Delta u} {\Delta u_{k+i}}^2

CostFunction≐J=i=1∑p​we​ek+i2​+i=0∑p−1​wΔu​Δuk+i​2

尽管优化器输出的是之后

p

个时间步的控制量，但是在当前时间步，

M

P

C

仅将这个最有序列的第一步应用到汽车上，忽略其余部分

{\color{Red} 尽管优化器输出的是之后p个时间步的控制量，但是在当前时间步，}\\ {\color{Red} MPC仅将这个最有序列的第一步应用到汽车上，忽略其余部分}

尽管优化器输出的是之后p个时间步的控制量，但是在当前时间步，MPC仅将这个最有序列的第一步应用到汽车上，忽略其余部分

三、MPC控制器的参数如何设置?

• 参数既会影响控制器的性能，又会影响计算复杂度。

• MPC主要的参数如下:

  • ① 采样时间
  • ② 预测范围、控制范围
  • ③ 约束
  • ④ 损失函数的权重

3.1 采样时间

采样时间过大，当干扰发生，控制器无法做出及时的反应。

采样时间过小，会导致过多的计算负载。

可以测量系统的阶跃响应，根据上升时间选择采样时间

3.2 预测范围、控制范围

我们应该选择一个涵盖系统重要动态的预测范围

预测范围过短，无法及时反映，可能会在弯道处急转弯

预测范围过长，之后的不可预测事件可能会白白浪费算力。

我们通常选择 20-30个样本覆盖系统的动态响应，如下图:

通常只有前几个时间步的控制对于预测影响较大(因为前几个要拽向ref轨迹，后面的维持稳定)， 因此，选择大的控制范围只会白白增大计算复杂度

经验法则: 控制范围 = 10%~20% × 预测范围

3.3 约束条件

可以对 控制量、控制量变化率、状态量进行约束

约束分为硬约束和软约束，无法违反的(比如最大车速)叫硬约束

软约束可以违反，但我们不希望违反，可以把它设计到损失函数之中

建议将输出约束设置为软约束，并避免对控制量及其变化率设置硬约束，否则可能会出现无解的情况

3.4 权重

损失函数由多个部分组成，需要设置权重

比如最基本的，我们既希望预测轨迹接近参考轨迹，又希望控制量是平滑的。

四、自适应增益调度和非线性MPC

• 线性系统 + 线性约束 + 时不变约束条件 => 可以使用线性时不变MPC控制器 => 凸优化问题

• 但是如果系统是非线性的，就要使用自适应MPC、时间表MPC

  • 自适应MPC：具体思路是在非线性模型的各个工作点，建立多套线性模型

    ​ 自适应MPC的线性模型在不同工作点上结构，超参数相同，只是矩阵参数不同而已

• 时间表MPC: 对于不同工作点，需要设置不同数量超参数(控制量数目、预测步长…)的模型

  

如果是非线性的，那么优化问题就会变成多极值点的非凸优化问题，求解较复杂

五、Simulink仿真MPC控制器

item	value
输出量(状态量)	(横向位置Y、偏航角\phi)
控制量	(前轮转角delta)

假定

V

x

恒为

15

m

/

s

,

使用线性化汽车模型

假定V_x恒为15m/s , 使用线性化汽车模型\\

假定Vx​恒为15m/s,使用线性化汽车模型

模型下载地址: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/68992-designing-an-mpc-controller-with-simulink?s_eid=PSM_15028

(一定要记得路径，matlab界面的路径一定得是模型文件路径。路径不对的话，plant和reference的mask无法显示正确，会显示问号，同时直接运行会报错)

步骤: https://ww2.mathworks.cn/help/releases/R2017b/mpc/examples/autonomous-vehicle-steering-using-model-predictive-control.html

5.1 数学分析

下面依次介绍各个模块:

• ① Plant: 车辆线性模型

  右键Plant模块，选择Block Parameters：

变量	含义
V x V_x Vx​	小车平行于车身向前的速度
m m m	小车总质量
I z I_z Iz​	Yaw夹角转动惯量(绕小车中心旋转的转动惯量)
l f l_f lf​	小车质心到前轮的距离
l r l_r lr​	小车质心到前轮的距离
C α C_{\alpha} Cα​	汽车转角刚度((轮胎侧偏角的单位增量所对应的横向力的增量) (N/rad)
ψ \psi ψ	Yaw角

小车是自行车模型

(

b

i

c

y

c

l

e

m

o

d

e

l

w

i

t

h

t

w

o

d

e

g

r

e

e

s

o

f

f

r

e

e

d

o

m

)

,

且

V

x

恒为

15

m

/

s

:

{\color{Red} 小车是自行车模型(bicycle \quad model\quad with \quad two\quad degrees\quad of \quad freedom), 且V_x恒为15m/s:}

小车是自行车模型(bicyclemodelwithtwodegreesoffreedom),且Vx​恒为15m/s:

• reference: 小车的自行车模型

• 原理(1): 前轮运动 = 前轮相对于车身运动 + 车身相对于质心运动(旋转) + 小车质心相对于地面运动

• 原理(2):

  Δ

  轮胎受到垂直于车身的力

  =

  C

  r

  (

  或者

  C

  l

  )

  Δ

  轮胎转角

  \Delta 轮胎受到垂直于车身的力 = C_{r}(或者C_{l} ) \Delta 轮胎转角

  Δ轮胎受到垂直于车身的力=Cr​(或者Cl​)Δ轮胎转角

  (注意: 自行车模型代替小车模型时，四轮变为两轮，因此

  自行车的

  C

  f

  应该是小车的

  2

  C

  f

  自行车的C_f应该是 小车的2C_f

  自行车的Cf​应该是小车的2Cf​)

进行动力学分析：

由于

ψ

较小，简化为线性模型即

:

Y

˙

=

V

x

ψ

+

V

y

[

公式一

]

由于\psi较小，简化为线性模型即: \dot{Y} = V_x \psi + V_y \quad [公式一]\\

由于ψ较小，简化为线性模型即:Y˙=Vx​ψ+Vy​[公式一]

Δ

前轮相对于车身转角

=

(

V

y

+

ψ

˙

l

f

V

x

)

Δ

后轮相对于车身转角

=

(

−

V

y

−

ψ

˙

l

r

V

x

)

⇒

前轮受到垂直于车身的力

=

2

C

f

(

−

ψ

+

δ

+

Δ

前轮相对于车身转角

)

后轮受到垂直于车身的力

=

2

C

r

(

−

ψ

+

Δ

后轮相对于车身转角

)

⇒

根据

[

公式一

]

:

m

y

¨

=

−

m

V

x

ψ

˙

−

m

V

y

˙

m

V

y

˙

=

前轮受到垂直于车身的力

+

后轮受到垂直于车身的力

⇒

m

y

¨

=

−

m

V

x

ψ

˙

+

2

C

f

[

−

ψ

+

δ

−

V

y

+

ψ

˙

l

f

V

x

]

+

2

C

r

(

−

ψ

−

V

y

−

ψ

˙

l

r

V

x

)

将

[

公式一

]

代入到上式

:

y

¨

=

−

2

C

f

+

2

C

r

m

V

x

y

˙

−

(

V

x

+

2

C

f

l

f

−

2

C

r

l

r

m

V

x

)

ψ

˙

+

2

C

α

δ

m

[

公式二

]

\Delta 前轮相对于车身转角 = (\frac{V_y + \dot{\psi}l_f}{V_x}) \\ \Delta 后轮相对于车身转角 = (- \frac{V_y – \dot{\psi}l_r}{V_x}) \\ \Rightarrow \\ 前轮受到垂直于车身的力 = 2C_{f} (-\psi + \delta + \Delta 前轮相对于车身转角) \\ 后轮受到垂直于车身的力 = 2C_{r} (-\psi + \Delta 后轮相对于车身转角)\\ \Rightarrow \\ 根据[公式一]: \\ m \ddot{y} = -mV_x \dot{\psi} – m\dot{V_y}\\ m\dot{V_y}=前轮受到垂直于车身的力 + 后轮受到垂直于车身的力 \\ \Rightarrow m\ddot{y} = – m V_x \dot{\psi} + 2C_f[-\psi +\delta – \frac{V_y + \dot{\psi}l_f}{V_x}] +2 C_r (-\psi – \frac{V_y – \dot{\psi}l_r}{V_x}) \\ 将 [公式一]代入到上式: \\ {\color{Red}\ddot{y} = -\frac{2C_f+2C_r}{mV_x}\dot{y} -(V_x+\frac{2C_fl_f-2C_rl_r}{mV_x}) \dot{\psi} + \frac{2C_{\alpha} \delta}{m} \quad [公式二] }

Δ前轮相对于车身转角=(Vx​Vy​+ψ˙​lf​​)Δ后轮相对于车身转角=(−Vx​Vy​−ψ˙​lr​​)⇒前轮受到垂直于车身的力=2Cf​(−ψ+δ+Δ前轮相对于车身转角)后轮受到垂直于车身的力=2Cr​(−ψ+Δ后轮相对于车身转角)⇒根据[公式一]:my¨​=−mVx​ψ˙​−mVy​˙​mVy​˙​=前轮受到垂直于车身的力+后轮受到垂直于车身的力⇒my¨​=−mVx​ψ˙​+2Cf​[−ψ+δ−Vx​Vy​+ψ˙​lf​​]+2Cr​(−ψ−Vx​Vy​−ψ˙​lr​​)将[公式一]代入到上式:y¨​=−mVx​2Cf​+2Cr​​y˙​−(Vx​+mVx​2Cf​lf​−2Cr​lr​​)ψ˙​+m2Cα​δ​[公式二]

求得小车模型的状态空间表达式为

:

d

d

t

[

y

˙

ψ

ψ

˙

]

=

[

−

2

C

f

+

2

C

r

m

V

x

0

−

(

V

x

+

2

C

f

l

f

−

2

C

r

l

r

m

V

x

)

0

0

1

−

2

l

f

C

f

−

2

l

r

C

r

I

z

V

x

0

−

2

l

f

2

C

f

+

2

l

r

2

C

r

I

z

V

x

]

[

y

˙

ψ

ψ

˙

]

+

[

2

C

f

m

0

2

l

f

C

f

I

z

]

δ

求得小车模型的状态空间表达式为: \qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \\ \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} -\frac{2C_f+2C_r}{mV_x} & 0 & -(V_x+\frac{2C_fl_f-2C_rl_r}{mV_x}) \\ 0 & 0 & 1\\ -\frac{2l_fC_f-2l_rC_r}{I_z V_x} & 0 & – \frac{2l_f^2C_f+2l_r^2C_r}{I_zV_x} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \dot{y} \\ \psi \\ \dot{\psi} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \frac{C_f}{m}\\ 0 \\ \frac{2l_fC_f}{I_z} \end{bmatrix} \delta

求得小车模型的状态空间表达式为:dtd​
​y˙​ψψ˙​​
​=
​−mVx​2Cf​+2Cr​​0−Iz​Vx​2lf​Cf​−2lr​Cr​​​000​−(Vx​+mVx​2Cf​lf​−2Cr​lr​​)1−Iz​Vx​2lf2​Cf​+2lr2​Cr​​​
​
​y˙​ψψ˙​​
​+
​2mCf​​0Iz​2lf​Cf​​​
​δ

正好就是Parameters中的A,B,C,D矩阵

5.2 实验过程

导入矩阵和参考轨迹参数，双击Params.mat即可：

需要更换参考轨迹的话，参考以下方法生成新的posRef和yawRef

打开APP->Driving Scenario designer->选择道路和参考轨迹

开始仿真: