复习--------范数

复习–范数

范数
- 范数和赋范矢量空间的认识
- 范数赋范矢量空间的数学定义
- 向量范数的数学定义
- 矩阵范数的数学定义
- 函数范数的数学定义
- 例子：

范数

范数和赋范矢量空间的认识

范数是一个具有“长度”概念的函数。在线性代数、范函分析及相关的数学领域里，范数是一个函数，是矢量空间内的所有矢量赋予非零的正长度或大小。定义范数的矢量空间就是赋范矢量空间。

范数赋范矢量空间的数学定义

∈

若存在唯一实数

∥

⋅

∥

f \in S 若存在唯一实数 \lVert \cdot \rVert

f∈S若存在唯一实数∥⋅∥满足

正定性：
f

≥

0

,

当且仅当

f

=

0

，

∥

f

∥

=

0

f \geq 0 ,当且仅当 f = 0， \lVert f \rVert = 0

f≥0,当且仅当f=0，∥f∥=0
其次性：
∀

a

∈

R

，

∥

a

f

∥

=

∣

a

∣

⋅

∥

f

∥

\forall a \in R ，\lVert a f \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert f \rVert

∀a∈R，∥af∥=∣a∣⋅∥f∥
三角不等式：
∥

f

+

g

∥

≤

∥

f

∥

+

∥

g

∥

，

f

,

g

∈

S

\lVert f + g \rVert \leq \lVert f \rVert + \lVert g \rVert ， f,g \in S

∥f+g∥≤∥f∥+∥g∥，f,g∈S

则称

∥

⋅

∥

，是线性空间

S

上的范数，线性空间

S

则称为赋范线性空间。

则称\lVert \cdot \rVert，是线性空间 S 上的范数，线性空间 S 则称为赋范线性空间。

则称∥⋅∥，是线性空间S上的范数，线性空间S则称为赋范线性空间。

向量范数的数学定义

空间的向量范数

∥

⋅

∥

指的是一个

→

的函数，对任意的

∈

满足下列条件

R^n 空间的向量范数 \lVert \cdot \rVert 指的是一个 R^n \to R 的函数，对任意的 x, y \in R^n 满足下列条件

Rn空间的向量范数∥⋅∥指的是一个Rn→R的函数，对任意的x,y∈Rn满足下列条件

∥

x

∥

≥

0

,

∥

x

∥

=

0

当且仅当

x

=

0

（正定性）

\lVert x \rVert \geq 0, \lVert x \rVert = 0 当且仅当 x = 0（正定性）

∥x∥≥0,∥x∥=0当且仅当x=0（正定性）
∥

a

x

∥

=

∣

a

∣

⋅

∥

x

∥

，

∀

a

∈

R

（其次性）

\lVert a x \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert x \rVert，\forall a \in R （其次性）

∥ax∥=∣a∣⋅∥x∥，∀a∈R（其次性）
∥

x

+

y

∥

≤

∥

x

∥

+

∥

y

∥

（三角不等式）

\lVert x + y \rVert \leq \lVert x \rVert + \lVert y \rVert （三角不等式）

∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥（三角不等式）

集中常见的向量范数

向量的

∞

−

范数：

∥

x

∥

∞

=

max

⁡

1

≤

i

≤

n

∣

x

i

∣

向量的\infty-范数：\lVert x \rVert_\infty = \operatorname*{max}_{1 \leq i \leq n}{\lvert x_i \rvert}

向量的∞−范数：∥x∥∞=1≤i≤nmax∣xi∣
向量的

1

−

范数：

∥

x

∥

i

=

∑

i

=

1

n

∣

x

i

∣

向量的1- 范数：\lVert x \rVert_i = \sum_{i=1}^{n}{\lvert x_i \rvert}

向量的1−范数：∥x∥i=i=1∑n∣xi∣
向量的

2

−

范数：

∥

x

∥

2

=

(

∑

i

=

1

n

x

2

)

1

2

向量的2- 范数：\lVert x \rVert_2 = (\sum_{i=1}^{n}{x^2})^{\frac{1}{2}}

向量的2−范数：∥x∥2=(i=1∑nx2)21
向量的

p

−

范数：

∥

x

∥

p

=

(

∑

i

=

1

n

∣

x

∣

p

)

1

p

向量的p- 范数：\lVert x \rVert_p = (\sum_{i=1}^{n}{\lvert x \rvert^p})^{\frac{1}{p}}

向量的p−范数：∥x∥p=(i=1∑n∣x∣p)p1

矩阵范数的数学定义

如果矩阵

∈

的某个非负的实值函数

∥

⋅

∥

满足：

如果矩阵 A \in R^{m \times n} 的某个非负的实值函数\lVert \cdot \rVert 满足：

如果矩阵A∈Rm×n的某个非负的实值函数∥⋅∥满足：

正定性：
∥

A

∥

≥

0

,

∥

A

∥

=

0

但且仅当

A

=

O

\lVert A \rVert \geq 0, \lVert A \rVert = 0但且仅当 A = O

∥A∥≥0,∥A∥=0但且仅当A=O
其次性：
∥

a

A

∥

=

∣

a

∣

⋅

∥

A

∥

，对任意的

a

∈

R

\lVert a A \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert A \rVert，对任意的a \in R

∥aA∥=∣a∣⋅∥A∥，对任意的a∈R
三角不等式：
∥

A

+

B

∥

≤

∥

A

∥

+

∥

B

∥

\lVert A + B \rVert \leq \lVert A \rVert + \lVert B \rVert

∥A+B∥≤∥A∥+∥B∥
相容性：
∥

A

B

∥

≤

∥

A

∥

∥

B

∥

\lVert A B \rVert \leq \lVert A \rVert \lVert B \rVert

∥AB∥≤∥A∥∥B∥

则称

∥

⋅

∥

是一个矩阵范数

则称\lVert \cdot \rVert 是一个矩阵范数

则称∥⋅∥是一个矩阵范数

函数范数的数学定义

在连续函数空间

[

]

中范数的定义为：

在连续函数空间C[a, b]中范数的定义为：

在连续函数空间C[a,b]中范数的定义为：

在函数空间

[

]

中，

∈

[

]

，若存在唯一实数

∥

⋅

∥

满足：

在函数空间C[a, b] 中， f \in C[a, b]，若存在唯一实数\lVert \cdot \rVert 满足：

在函数空间C[a,b]中，f∈C[a,b]，若存在唯一实数∥⋅∥满足：

正定性：
∥

f

∥

≥

0

，当且仅当

f

=

0

时，

∥

f

∥

=

0

\lVert f \rVert \geq 0，当且仅当 f = 0时，\lVert f \rVert = 0

∥f∥≥0，当且仅当f=0时，∥f∥=0
其次性：
∀

a

∈

R

，

∥

a

f

∥

=

∣

a

∣

⋅

∥

f

∥

\forall a \in R， \lVert a f \rVert = \lvert a \rvert \cdot \lVert f \rVert

∀a∈R，∥af∥=∣a∣⋅∥f∥
三角不等式：
∥

f

+

g

∥

≤

∥

f

∥

⋅

∥

g

∥

，

f

,

g

∈

C

[

a

,

b

]

\lVert f + g \rVert \leq \lVert f \rVert \cdot \lVert g \rVert，f,g \in C[a, b]

∥f+g∥≤∥f∥⋅∥g∥，f,g∈C[a,b]

常见的函数范数：

函数的

∞

−

范数：

∥

f

∥

∞

=

max

⁡

a

<

x

<

b

∣

f

(

x

)

∣

函数的\infty – 范数：\lVert f \rVert_\infty = \operatorname*{max}_{a < x <b}{\lvert f(x) \rvert}

函数的∞−范数：∥f∥∞=a<x<bmax∣f(x)∣
函数的

1

−

范数：

∥

f

∥

1

=

∫

a

b

∣

f

(

x

)

∣

d

x

函数的1 – 范数： \lVert f \rVert_1 = \int_{a}^{b}{\lvert f(x) \rvert \,{\rm d}x}

函数的1−范数：∥f∥1=∫ab∣f(x)∣dx
函数的

2

−

范数：

∥

f

∥

2

=

∣

∫

a

b

f

2

(

x

)

d

x

∣

1

2

函数的2 – 范数：\lVert f \rVert_2 = \lvert \int_{a}^{b}{ f^2(x) \,{\rm d}x} \rvert^{\frac{1}{2}}

函数的2−范数：∥f∥2=∣∫abf2(x)dx∣21