图论入门（完结）

更新线

图的基本概念（已更）
图的存储结构（邻接矩阵、邻接表、链式前向星）（已更）
图的遍历（深度优先、广度优先）（已更）
一笔画问题（欧拉回路，已更）
哈密顿路问题（已更）
最短路径（已更）
最小生成树(已更)

图论简介及相关概念

图

(

)

(graph)

(graph) 是一个二元组

(

)

(

)

G=(V(G),E(G))

G=(V(G),E(G))，其中

(

)

V(G)

V(G)是非空集，称为点集

(

)

(vertex set)

(vertexset)，对于

V中的每个元素，我们称其为顶点

(

)

(vertex)

(vertex)或节点

(

)

(node)

(node)，简称点，

(

)

E(G)

E(G)为

(

)

V(G)

V(G)各结点之间边的集合，称为边集

(

)

(edge set)

(edgeset)

常用

(

)

G=(V,E)

G=(V,E) 表示图

当
V

,

E

V,E

V,E都是有限集合时，称

G

G

G为有限图
当
V

V

V或

E

E

E都是有限集合时，称

G

G

G为无限图

图有多种，包括无向图

(

)

(undirected graph)

(undirectedgraph)，有向图

(

)

(directed graph)

(directedgraph)，混合图

(

)

(mixed graph)

(mixedgraph)，带权图等

举个例子

图论入门（完结）

无向图专业术语

两个顶点之间如果有边连接，那么就视为两个顶点相邻
路径：相邻顶点的序列
圈：起点和终点重合的路径
连通图：任意两点之间都有路径连接的图
度：顶点连接的边数叫做这个顶点的度
树：没有圈的连通图
森林：没有圈的非连通图

有向图专业术语

在有向图中，边是单向的：每条边所连接的两个顶点是一个有序对，他们的邻接性是单向的
有向路径：相邻顶点的序列
有向环：一条至少含有一条边且起点和终点相同的有向路径
有向无环图
（

D

A

G

）

（DAG）

（DAG）：没有环的有向图
度：一个顶点的入度与出度之和称为该顶点的度

1

)

)

).入度：以顶点为弧头的边的数目称为该顶点的入度

2

)

)

).出度：以顶点为弧尾的边的数目称为该顶点的出度

图的存储方式

1.邻接矩阵

方法：对于一个有

V

V

V的顶点的图而言，可以使用

V

∗

V

V*V

V∗V的二维数组表示

G

[

i

]

[

j

]

G[i][j]

G[i][j]表示的是顶点

i

i

i与顶点

j

j

j的关系。如果顶点

i

i

i和顶点

j

j

j之间有边相连，

G

[

i

]

[

j

]

=

1

G[i][j]=1

G[i][j]=1如果顶点

i

i

i和顶点

j

j

j之间无边相连，

G

[

i

]

[

j

]

=

0

G[i][j]=0

G[i][j]=0，对于无向图：

G

[

i

]

[

j

]

=

G

[

j

]

[

i

]

G[i][j]=G[j][i]

G[i][j]=G[j][i]

图论入门（完结）

代码实现：

bool adj[MAXN][MAXN];
scanf("%d %d", &n , &m);
for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) {
	int u , v;
	scanf("%d %d", &u , &v);
	adj[u][v] = 1;
	adj[v][u] = 1;	
}

2.邻接表

方法：使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组，如

v

e

c

t

o

r

vector

vector

a

d

j

[

n

+

1

]

adj[n + 1]

adj[n+1] 来存边，其中

a

d

j

[

u

]

adj[u]

adj[u]存储的是点的所有出边的相关信息

（

（

（终点、边权等

）

）

）

代码实现:

struct node{ vector v; }a[MAXN]; for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) { int u , v; scanf("%d %d", &u , &v); a[u].v.push_back(v); a[v].v.push_back(u); } return 0;

3.链式前向星

方法:

对于这样一张有向图：

输入边的顺序如下:

1 2 2 3 3 4 1 3 4 1 1 5 4 5

对于邻接表来说是这样的：

1 -> 2 -> 3 -> 5 2 -> 3 3 -> 4 4 -> 1 -> 5 5 -> ^ 对于链式前向星来说是这样的： edge[0].to = 2; edge[0].next = -1; head[1] = 0; edge[1].to = 3; edge[1].next = -1; head[2] = 1; edge[2].to = 4; edge[2],next = -1; head[3] = 2; edge[3].to = 3; edge[3].next = 0; head[1] = 3; edge[4].to = 1; edge[4].next = -1; head[4] = 4; edge[5].to = 5; edge[5].next = 3; head[1] = 5; edge[6].to = 5; edge[6].next = 4; head[4] = 6; 简化后：1 -> 5 -> 3 -> 2

核心代码：

struct edge{ int to , nxt , w; }; edge a[MAXN]; void add(int u , int v , int w) { a[cnt].w = w; a[cnt].to = v; a[cnt].nxt = head[u]; head[u] = cnt ++; }

图的遍历

（内置芝士）什么是图的遍历：从图中的某个顶点出发，按某种方法对图中的所有顶点访问且仅访问一次。为了保证图中的顶点在遍历过程中仅访问一次，要为每一个顶点设置一个访问标志

1.有向图的dfs

题目大意：

给定一个有向图，有

N

N

N个顶点，

M

M

M条边，顶点从

1..

N

1..N

1..N依次编号，求出字典序最小的深度优先搜索顺序

总体思路：

利用邻接表存储点的关系，将点放入

d

f

s

dfs

dfs里搜索与之相邻但未被遍历过的点

核心代码如下:

void dfs(int k) { if (vis[k]) return; vis[k] = 1; printf("%d ", k); for (set:: iterator it = st[k].begin() ; it != st[k].end() ; it ++) { dfs(*it); } } for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) { int u , v; scanf("%d %d", &u , &v); st[u].insert(v); } dfs(1); for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) { if (!vis[i]) dfs(i); }

2.有向图的bfs

题目大意：

给定一个有向图，有

N

N

N个顶点，

M

M

M条边，顶点从

1

1

1…

N

N

N依次编号，求出字典序最小的宽度优先搜索顺序

思路：

利用邻接表存储点的关系，将点放入

b

f

s

bfs

bfs里搜索与之相邻但未被遍历过的点

核心代码如下：

void bfs(int k) { q.push(k); while(!q.empty()) { int x = q.front(); q.pop(); if (vis[x]) continue; vis[x] = 1; printf("%d ", x); for (set:: iterator it = st[x].begin() ; it != st[x].end() ; it ++) { q.push(*it); } } } for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) { int u , v; scanf("%d %d", &u , &v); st[u].insert(v); } bfs(1); for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) { if (!vis[i]) bfs(i); }

3.无向图的bfs

题目大意：

一个无向图，从指定顶点出发进行

B

F

S

BFS

BFS，求遍历得到的顶点序

总体思路：

利用邻接矩阵存储边(每一层要从小到大排序，矩阵方便操作)，将点放入

b

f

s

bfs

bfs里搜索与之相邻但未被遍历过的点

核心代码如下：

void bfs() { q.push(rt); while(!q.empty()) { int x = q.front(); q.pop(); if (vis[x]) continue; vis[x] = 1; printf("%d ", x); for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) { if (adj[x][i]) { q.push(i); } } } } for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) { int u , v; scanf("%d %d", &u , &v); adj[u][v] = 1; adj[v][u] = 1; }

一笔画问题（欧拉路）

Ps：欧拉路指的是：存在这样一种图，可以从其中一点出发，不重复地走完其所有的边如果欧拉路的起点与终点相同，则称之为欧拉回路

需满足条件：

图是连通的，若不连通不可能一次性遍历所有边

对于无向图：有且仅有两个点，与其相连的边数为奇数，其他点相连边数皆为偶数；或所有点皆为偶数边点。对于两个奇数点，一个为起点，一个为终点。起点需要出去，终点需要进入，故其必然与奇数个边相连

如果存在这样一个欧拉路，其所有的点相连边数都为偶数，那说明它是欧拉回路

对于有向图：除去起点和终点，所有点的出度与入度相等。起点出度比入度大1，终点入度比出度大1。若起点终点出入度也相同，则为欧拉回路

利用

d

f

s

dfs

dfs求一笔画路径
题目大意：
根据一笔画的两个定理，如果寻找欧拉回路，对任意一个点执行深度优先遍历；找欧拉路，则对一个奇点执行

d

f

s

dfs

dfs，时间复杂度为

O

(

m

+

n

)

O(m+n)

O(m+n)，

m

m

m为边数，

n

n

n是点数

总体思路：

即把奇点作为起点放入

d

f

s

dfs

dfs搜索,每搜索到一个相邻的点即把这条边删掉，若所有边都遍历到了，输出答案

核心代码如下：

void dfs(int k , int id) { ans[id] = k; bool f = 1; for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) { for (int j = 1 ; j <= m ; j ++) { if (a[i][j]) { f = 0; break; } } } if (f) { for (int i = 1 ; i <= id ; i ++) { printf("%d ", ans[i]); } exit(0); } for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) { if (a[k][i]) { a[k][i] = 0; a[i][k] = 0; dfs(i , id + 1); a[k][i] = 1; a[i][k] = 1; } } }

d

f

s

dfs

dfs暴力求解哈密顿图
思路：利用邻接表存储边的关系，枚举1~

n

n

n作为起点的情况，然后每搜到一种情况便把

a

n

s

ans

ans加

1

1

1即可

int dfs(int k , int cnt) { if(cnt == n) return 1; int res = 0; for (int i = 1 ; i <= h[k][0] ; i ++) { if (!vis[h[k][i]]) { vis[h[k][i]] = 1; res += dfs(h[k][i] , cnt + 1); vis[h[k][i]] = 0; } } return res; } for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) { vis[i] = 1; ans += dfs(i , 1); vis[i] = 0; }

最短路问题

最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图

（

（

（由结点和路径组成的

）

）

）中两结点之间的最短路径。

例如：

1.

f

l

o

y

d

floyd

floyd
佛洛伊德是最简单的最短路径算法，可以计算图中任意两点间的最短路径。时间复杂度为

O

(

N

3

)

O(N^3)

O(N3)，适用于出现负边权的情况

算法描述：

初始化：

点

u

u

u、

v

v

v如果有边相连，则

F

[

u

]

[

v

]

=

w

[

u

]

[

v

]

F[u][v]=w[u][v]

F[u][v]=w[u][v]，如果不相连，则

F

[

u

]

[

v

]

=

0

x

3

f

3

f

3

f

3

f

F[u][v]=0x3f3f3f3f

F[u][v]=0x3f3f3f3f
2. 核心代码
for(int k = 1 ; k <= n ; k ++) { for(int i = 1 ; i <= n ; i ++) { for(int j = 1 ; j <= n ; j ++) { if(F[i][j] > F[i][k] + F[k][j]) { F[i][j] = F[i][k] + F[k][j]; } } }}
3. 算法解释：
F

[

i

]

[

j

]

F[i][j]

F[i][j]得出的就是任意起点

i

i

i到任意终点

j

j

j的最短路径

– 动态规划以”途径点集大小”为阶段

– 决策需要枚举中转点，不妨考虑也以中转点集为阶段

–

F

[

k

]

[

i

]

[

j

]

F[k][i][j]

F[k][i][j]表示”可以经过标号

≤

k

≤k

≤k的点中转时”从

i

i

i到

j

j

j的最短路

–

F

[

0

]

[

i

]

[

j

]

=

W

[

i

]

[

j

]

F[0][i][j]=W[i][j]

F[0][i][j]=W[i][j]，

W

W

W为前面定义的邻接矩阵

–

F

[

k

]

[

i

]

[

j

]

F[k][i][j]

F[k][i][j] =

m

i

n

min

min{

F

[

k

−

1

]

[

i

]

[

j

]

F[k-1][i][j]

F[k−1][i][j] ,

F

[

k

−

1

]

[

i

]

[

k

]

F[k-1][i][k]

F[k−1][i][k] +

F

[

k

−

1

]

[

k

]

[

j

]

F[k-1][k][j]

F[k−1][k][j]}

–

k

k

k这一维空间可以省略，变成

F

[

i

]

[

j

]

F[i][j]

F[i][j]

– 由于

k

k

k是

D

P

DP

DP的阶段循环，所以

k

k

k循环必须要放在最外层

4. 使用

f

l

o

y

d

floyd

floyd输出最短路径：
F

l

o

y

d

Floyd

Floyd算法输出路径也是采用记录前驱点的方式。因为

f

l

o

y

d

floyd

floyd是计算任意两点间最短路径的算法，

F

[

i

]

[

j

]

F[i][j]

F[i][j]记录从

i

i

i到

j

j

j的最短路径值。故我们定义

p

r

e

[

i

]

[

j

]

pre[i][j]

pre[i][j]为一个二维数组，记录从

i

i

i到

j

j

j的最短路径中，

j

j

j的前驱点是哪一个，递归还原路径

p

r

e

[

i

]

[

i

]

pre[i][i]

pre[i][i] 为 0，输入相连边时，重置相连边尾结点的前驱若有无向边：

p

r

e

[

a

]

[

b

]

=

a

pre[a][b]=a

pre[a][b]=a，

p

r

e

[

b

]

[

a

]

=

b

;

pre[b][a]=b;

pre[b][a]=b;
更新若
f

l

o

y

d

floyd

floyd最短路有更新，那么

p

r

e

[

i

]

[

j

]

=

p

r

e

[

k

]

[

j

]

;

pre[i][j]=pre[k][j];

pre[i][j]=pre[k][j];
递归输出指两点
s

s

s，

e

e

e的最短路，先输出起点

s

s

s，再将终点

e

e

e放入递归，输出

s

+

1

−

e

s+1-e

s+1−e的所有点。
核心代码：
void floyd() { for (int k = 1 ; k <= n ; k ++) { for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) { for (int j = 1 ; j <= n ; j ++) { if (dp[i][k] + dp[k][j] < dp[i][j]) { dp[i][j] = dp[i][k] + dp[k][j]; pre[i][j] = pre[k][j]; } } } } }void print(int x) { if (pre[s][x] == 0) return; print(pre[s][x]); printf(" %d", x);}
2.

d

i

j

k

s

t

r

a

dijkstra

dijkstra
主要方法：
分成两组：已经确定最短路、尚未确定最短路
从第2组中选择路径长度最短的点放入第1组并扩展
本质是贪心，只能应用于正权图
普通的
D

j

k

s

t

r

a

Djkstra

Djkstra算法

O

(

N

2

)

O(N^2)

O(N2)
堆优化的
D

i

j

k

s

t

r

a

Dijkstra

Dijkstra算法

O

(

N

l

o

g

N

)

−

O

(

M

l

o

g

N

)

O(NlogN)-O(MlogN)

O(NlogN)−O(MlogN)
引入概念——松弛操作：
原来用一根橡皮筋直接连接
a

a

a、

b

b

b两点，现在有一点k，使得

a

−

>

k

−

>

b

a->k->b

a−>k−>b比

a

−

>

b

a->b

a−>b的距离更短，则把橡皮筋改为

a

−

>

k

−

>

b

a->k->b

a−>k−>b ，这样橡皮筋更加松弛。
代码实现：
i

f

(

d

i

s

[

b

]

>

d

i

s

[

k

]

+

w

[

k

]

[

b

]

)

d

i

s

[

b

]

=

d

i

s

[

k

]

+

w

[

k

]

[

b

]

;

if(dis[b]>dis[k]+w[k][b])dis[b]=dis[k]+w[k][b];

if(dis[b]>dis[k]+w[k][b])dis[b]=dis[k]+w[k][b];
算法描述：
设起点为

s

s

s，

d

i

s

[

v

]

dis[v]

dis[v]表示从指定起点

s

s

s到

v

v

v的最短路径，

p

r

e

[

v

]

pre[v]

pre[v]为

v

v

v的前驱，用来输出路径

1.初始化

m

e

m

s

e

t

(

d

i

s

,

+

∞

)

memset(dis,+∞)

memset(dis,+∞)

m

e

m

s

e

t

(

v

i

s

,

f

a

l

s

e

)

memset(vis,false)

memset(vis,false)；

(

i

n

t

(int

(int

v

=

1

;

v

<

=

n

;

v

+

+

)

v = 1 ; v <= n ; v ++)

v=1;v<=n;v++)

d

i

s

[

v

]

=

w

[

s

]

[

v

]

dis[v]=w[s][v]

dis[v]=w[s][v]；

d

i

s

[

s

]

=

0

dis[s]=0

dis[s]=0；

p

r

e

[

s

]

=

0

pre[s]=0

pre[s]=0；

v

i

s

[

s

]

=

t

r

u

e

vis[s]=true

vis[s]=true；

2. 松弛

n

−

1

n-1

n−1次
在没有被访问过的点中找一个相邻顶点k，使得
d

i

s

[

k

]

dis[k]

dis[k]是最小的；
k

k

k标记为已确定的最短路

v

i

s

[

k

]

=

t

r

u

e

vis[k]=true

vis[k]=true;
用
f

o

r

for

for循环更新与k相连的每个未确定最短路径的顶点

v

v

v(所有未确定最短路的点都松弛更新)
3.算法结束
dis

[

v

]

[v]

[v]为

s

s

s到

v

v

v的最短路距离；

p

r

e

[

v

]

pre[v]

pre[v]为

v

v

v的前驱结点，用来输出路径

让我们来看一组动画 （~~不动的动画~~）

原始图

初始化

寻找源点相邻的最短路

松弛源点到1/4/3

寻找源点到1/4/3的最短路

松弛源点到4

寻找源点到4的最短路由于点4没有相邻点故不作松弛操作

寻找剩余未访问点3松弛源点到4并未更改最短路

最后奉上本人的代码（优化后） ：

struct edge{ int to , nxt , w; }a[MAXN]; void add(int u , int v , int w) { a[++ cnt].w = w; a[cnt].to = v; a[cnt].nxt = head[u]; head[u] = cnt; } struct node{ int id , w; node(int iid , int ww) { id = iid; w = ww; } friend bool operator<(node x , node y) { return x.w > y.w; } }; priority_queue q; void dijkstra() { memset(dis , 0x3f , sizeof(dis)); dis[s] = 0; q.push(node(s , 0)); while(!q.empty()) { int u = q.top().id; q.pop(); if (vis[u]) continue; vis[u] = 1; for (int i = head[u] ; i ; i = a[i].nxt) { int v = a[i].to , w = a[i].w; if (dis[v] > dis[u] + w) { dis[v] = dis[u] + w; q.push(node(v , dis[v])); } } } }

3.

B

e

l

l

m

a

n

−

F

o

r

d

Bellman-Ford

Bellman−Ford
B

e

l

l

m

a

n

−

F

o

r

d

Bellman-Ford

Bellman−Ford算法：对每条边执行更新，迭代

N

−

1

N-1

N−1次
具体操作是对图进行最多
n

−

1

n-1

n−1次松弛操作，每次操作对所有的边进行松弛，为什么是

n

−

1

n-1

n−1次操作呢？这是因为我们输入的边不一定是按源点由近至远，万一是由远至近最坏情况就得

n

−

1

n-1

n−1次
可以应用于负权图
预计时间复杂度：
O

(

n

2

)

O(n^2)

O(n2)
非本人代码（~~不想打了~~）：

~~想都不用想就知道有多慢~~

所以，我们引入了一个新的算法——

S

P

F

A

SPFA

SPFA

4.

S

P

F

A

(

s

h

o

r

t

e

s

t

SPFA(shortest

SPFA(shortest

p

a

s

t

past

past

f

a

s

t

fast

fast

a

l

g

o

r

i

t

h

m

)

algorithm)

algorithm)
S

P

F

A

SPFA

SPFA等于队列优化的

B

e

l

l

m

a

n

−

F

o

r

d

Bellman-Ford

Bellman−Ford算法
本质上还是迭代——每更新一次就考虑入队
稀疏图上
O

(

k

N

)

O(kN)

O(kN)，稠密图上退化到

O

(

N

2

)

O(N^2)

O(N2)
可以应用于有向负权图
算法实现：它采用了队列和松弛技术。先将源点加入队列。然后从队列中取出一个点(此时该点为源点)，对该点的邻接点进行松弛，如果该邻接点松弛成功且不在队列中，则把该点加入队列。如此循环往复，直到队列为空，则求出了最短路径
判断有无负环：如果某个点进入队列的次数超过
N

N

N次则存在负环 ( 存在负环则无最短路径,如果有负环则会无限松弛,而一个带

n

n

n个点的图至多松弛

n

−

1

n-1

n−1次)

~~你理解了吗？~~

bool vis[MAXN]; struct edge{ int to , w , nxt; }a[MAXN]; void add(int u , int v , int w) { a[++ cnt].w = w; a[cnt].to = v; a[cnt].nxt = head[u]; head[u] = cnt; } struct node { int id , w; node(int iid , int ww) { id = iid; w = ww; } }; queue q; int SPFA() { memset(dis , 0x3f, sizeof(dis)); dis[s] = 0; q.push(node(s , 0)); while(!q.empty()) { int u = q.front().id; q.pop(); vis[u] = 0; for (int i = head[u] ; i ; i = a[i].nxt) { int v = a[i].to , w = a[i].w; if (dis[v] > dis[u] + w) { dis[v] = dis[u] + w; if (!vis[v]) { vis[v] = 1; q.push(node(v , dis[v])); } } } } return 1; }

最小生成树

引入：树有这样一个定理：

N

N

N个点用

N

−

1

N-1

N−1条边连接成一个连通块，形成的图形只可能是树，叫做生成树！因此，一个有

N

N

N个点的连通图，边一定

≥

N

−

1

≥N-1

≥N−1条
概念：最小生成树

(

M

i

n

i

m

u

m

(Minimum

(Minimum

S

p

a

n

n

i

n

g

Spanning

Spanning

T

r

e

e

s

Trees

Trees简称

M

S

T

)

MST)

MST)求带权无向图的一棵子树，包含

N

N

N个点，

N

−

1

N-1

N−1条边，边权之和最小
P

r

i

m

Prim

Prim算法
算法思路：
以任意一个点为基准点
节点分为两组：

1）在

M

S

T

MST

MST上到基准点的路径已经确定的点

2）尚未在

M

S

T

MST

MST中与基准点相连的点
不断从第2组中选择与第1组距离最近的点加入第1组，类似于
D

i

j

k

s

t

r

a

Dijkstra

Dijkstra，本质也是贪心，

O

(

N

2

)

O(N^2)

O(N2)
算法描述：
总体思想：也使用“蓝白点”思想，白点代表已进入最小生成树的点，蓝点代表未进入最小生成树的点
以1为起点生成最小生成树，

m

i

n

[

v

]

min[v]

min[v]表示蓝点

v

v

v与白点相连的最小边权，

M

S

T

MST

MST 表示最小生成树的权值之和
(

a

)

(a)

(a)初始化：

m

i

n

[

v

]

=

∞

(

v

≠

1

)

min[v]=∞(v≠1)

min[v]=∞(v=1);

m

i

n

[

1

]

=

0

;

M

S

T

=

0

;

min[1]=0;MST=0;

min[1]=0;MST=0;

(

b

)

f

o

r

(

i

=

1

;

i

<

=

n

;

i

+

+

)

(b)for(i=1;i<=n;i++)

(b)for(i=1;i<=n;i++)

f

o

r

for

for寻找

m

i

n

[

u

]

min[u]

min[u],最小的蓝点

u

u

u;

②将

u

u

u标记为白点;

③

M

S

T

+

=

m

i

n

[

u

]

MST+=min[u]

MST+=min[u];

④

f

o

r

for

for与白点

u

u

u相连的所有蓝点v(可暴力枚举，更好的是求

v

e

c

t

o

r

vector

vector的

s

i

z

e

size

size)

i

f

(

w

[

u

]

[

v

]

<

m

i

n

[

v

]

)

if(w[u][v]<min[v])

if(w[u][v]<min[v])

m

i

n

[

v

]

=

w

[

u

]

[

v

]

;

min[v]=w[u][v];

min[v]=w[u][v];

(

c

)

(c)

(c)算法结束：MST即为最小生成树的权值之和

~~这次ppt的图片不是一个整体，太难盗图了，就直接上代码吧~~

void Prim() { for (int i = 1 ; i <= n ; i ++) d[i] = 0x3f3f3f3f3f3f; d[1] = 0; q.push(node(1 , 0)); while(!q.empty()) { int u = q.top().id; q.pop(); if (vis[u]) continue; vis[u] = 1; for (int i = head[u] ; i ; i = a[i].nxt) { ll v = a[i].to; ll w = a[i].w; if (w < d[v] && !vis[v]) { d[v] = w; q.push(node(v , d[v])); } } MST += d[u]; } }

K

r

u

s

k

a

l

Kruskal

Kruskal算法
算法思路：
利用并查集，起初每个点各自构成一个集合
所有边按照边权从小到大排序，依次扫描
若当前扫描到的边连接两个不同的点集就合并
本质也是贪心，
O

(

M

l

o

g

N

)

O(MlogN)

O(MlogN)
与Prim算法相比，没有基准点，该算法是不断选择两个距离最近的集合进行合并的过程
算法描述：
(

a

)

(a)

(a)初始化

①写出并查集三件套

②将边按权值大小排序

$(b)

①

i

f

if

if两个点的祖先不是同一个,将两个点合并，并累加权值;

②如果图已经联通，即

t

o

t

=

=

n

tot==n

tot==n跳出

©算法结束：

M

S

T

MST

MST即为最小生成树的权值之和。

~~依旧很难盗图，无语~~

void kruscal() { int tot = 0; for (int i = 1 ; i <= m ; i ++) { if (UnionSet(a[i].u , a[i].v)) { MST += a[i].w; tot ++; if (tot == n) return; } } }

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