python求定积分：quad函数

文章目录

- 示例
- 完整参数
- weight参数

示例

quad是scipy.integrate中最常用的积分函数，示例如下

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

func = lambda x: x**2
quad(func, 0, 4)
# (21.333333333333332, 2.3684757858670003e-13)
quad(np.sin, 0, np.pi)
# (2.0, 2.220446049250313e-14)

在上面的代码中，func为待积分函数，后面紧跟着的两个参数表示积分的下界和上界。返回值有二，分别为积分结果和计算误差。

用于测试的两个函数的解析形式如下，可见计算结果吻合。

∫

∣

≈

21.3

∫

sin

⁡

−

cos

⁡

∣

\int_0^4 x^2\text dx=\frac{1}{3}x^3\big|^4_0=\frac{64}{3}\approx 21.3\\ \int^\pi_0\sin x\text dx=-\cos x\big|^\pi_0=2

∫04x2dx=31x3
04=364≈21.3∫0πsinxdx=−cosx
0π=2

完整参数

quad的完整参数如下

scipy.integrate.quad(func, a, b, args=(), full_output=0, epsabs=1.49e-08, epsrel=1.49e-08, limit=50, points=None, weight=None, wvar=None, wopts=None, maxp1=50, limlst=50, complex_func=False)

其中，

args为func函数中，除待求积分参数之外的其他参数
epsabs, epsrel 分别为绝对和相对误差
limit 自适应算法中子区间的个数
points 断点位置
weight, wvar 定义域区间内的权重类型和权重
wopts, maxp1 切比雪夫矩及其上限

weight参数

其中，weight和wvar参数的具体取值如下。

weight	wvar	函数
“cos”	w w w	cos ⁡ w x \cos wx coswx
“sin”	w w w	sin ⁡ w x \sin wx sinwx
“alg”	α , β \alpha, \beta α,β	g ( x ) g(x) g(x)
“alg-loga”	α , β \alpha, \beta α,β	g ( x ) log ⁡ ( x − a ) g(x)\log(x-a) g(x)log(x−a)
“alg-logb”	α , β \alpha, \beta α,β	g ( x ) log ⁡ ( b − x ) g(x)\log(b-x) g(x)log(b−x)
“alg-log”	α , β \alpha, \beta α,β	g ( x ) log ⁡ ( x − a ) log ⁡ ( b − x ) g(x)\log(x-a)\log(b-x) g(x)log(x−a)log(b−x)
“cauchy”	c c c	1 x − c \frac{1}{x-c} x−c1

weight

wvar

函数

“cos”

cos

⁡

\cos wx

coswx

“sin”

sin

⁡

\sin wx

sinwx

“alg”

\alpha, \beta

α,β

(

)

g(x)

“alg-loga”

\alpha, \beta

α,β

(

)

log

⁡

(

−

)

g(x)\log(x-a)

g(x)log(x−a)

“alg-logb”

\alpha, \beta

α,β

(

)

log

⁡

(

−

)

g(x)\log(b-x)

g(x)log(b−x)

“alg-log”

\alpha, \beta

α,β

(

)

log

⁡

(

−

)

log

⁡

(

−

)

g(x)\log(x-a)\log(b-x)

g(x)log(x−a)log(b−x)

“cauchy”

−

\frac{1}{x-c}

x−c1

其中，

(

)

(

−

)

∗

(

−

)

g(x)=(x-a)^\alpha*(b-x)^\beta

g(x)=(x−a)α∗(b−x)β

设func为

(

)

f(x)=x

f(x)=x，若weight参数为cos，而wvar取值为

w，则实际计算的积分表达式为

∫

cos

⁡

(

)

\int_a^b\cos wf(x)\text dx

∫abcoswf(x)dx

示例如下

func = lambda x : x
quad(func, 0, np.pi)
# (4.934802200544679, 5.478731025015592e-14)
quad(func, 0, np.pi, weight='cos', wvar=1)
# (-1.9999999999999993, 1.926079284799239e-13)

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