滑模控制理论(SMC)

滑模控制理论(Sliding Mode Control,SMC)

滑膜控制理论是一种建立在现代控制理论基础上的控制理论，其核心为李雅普诺夫函数，滑膜控制的核心是建立一个滑模面，将被控系统拉倒滑模面上来，使系统沿着滑模面运动，滑膜控制的优势在于无视外部扰动和不确定性参数，采取一种比较暴力的方式来达到控制目的，但是这种暴力也带来了一些问题，就是正负信号的高频切换，一般的硬件是无法进行信号的高频切换的，所以需要一些其他的方式避免这个问题，还有就是型号的高频切换会导致输出的信号出现震荡，导致系统在所选取的滑模面之间来回震荡，这种震荡是无法消除的，这也是滑膜控制的一个问题。

优点

滑动模态可以设计

对扰动不敏感

缺点

硬件无法适应高频的信号切换

信号高频切换带来的输出信号震荡

系统建模

我们可以建立一个简单的二阶系统的状态方程

x

˙

1

=

x

2

x

˙

2

=

u

\begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber \\ \dot x_2 &= u \nonumber \\ \end{align}

x˙1​x˙2​​=x2​=u​​

我们的控制目标很明确，就是希望

x

1

=

0

,

x

2

=

0

x_1 = 0,x_2=0

x1​=0,x2​=0

设计滑模面

s

=

c

x

1

+

x

2

s=cx_1+x_2

s=cx1​+x2​

这里有个问题就是，滑模面是个什么东西，为什么要设计成这个样子，为什么不是别的样子，其实这个涉及一个问题就是我们控制的目标是什么，是

x

1

=

0

,

x

2

=

0

x_1 = 0,x_2=0

x1​=0,x2​=0，那如果

s

=

0

s=0

s=0呢

{

c

x

1

+

x

2

=

0

x

˙

1

=

x

2

⇒

c

x

1

+

x

˙

1

=

0

⇒

{

x

1

=

x

1

(

0

)

e

−

c

t

x

2

=

−

c

x

1

(

0

)

e

−

c

t

\begin{equation} \begin{cases} cx_1 + x_2 = 0 \\ \dot x_1 = x_2 \\ \end{cases} \Rightarrow cx_1+\dot x_1 = 0 \Rightarrow \begin{cases} x_1 = x_1(0)e^{-ct} \\ x_2 = -cx_1(0)e^{-ct} \\ \end{cases} \nonumber \end{equation}

{cx1​+x2​=0x˙1​=x2​​⇒cx1​+x˙1​=0⇒{x1​=x1​(0)e−ctx2​=−cx1​(0)e−ct​​

可以看出状态量最终都会趋于0，而且是指数级的趋于0。

c

c

c 越大，速度也就越快。所以如果满足

s

=

c

x

1

+

c

2

=

0

s=cx_1+c_2=0

s=cx1​+c2​=0,那么系统的状态将沿着滑模面趋于零，（

s

=

0

s=0

s=0称之为滑模面)

设计趋近律

上面说，如果

s

=

0

s=0

s=0 状态变量最终会趋于0，可以如何保证

s

=

0

s=0

s=0 呢，这就是控制率

u

u

u 需要保证的内容了

s

˙

=

c

x

˙

1

+

x

˙

2

=

c

x

2

+

u

\dot s = c \dot x_1 + \dot x_2 = cx_2+u

s˙=cx˙1​+x˙2​=cx2​+u

趋近律就是指

s

˙

\dot s

s˙ ，趋近律的一般有以下几种设计

{

s

˙

=

−

ε

s

g

n

(

s

)

,

ε

>

0

s

˙

=

−

ε

s

g

n

(

s

)

−

k

s

,

ε

>

0

,

k

>

0

s

˙

=

−

k

∣

s

∣

α

s

g

n

(

s

)

,

0

<

α

0 \\ \dot s = – \varepsilon sgn(s)-ks, \varepsilon > 0 , k>0\\ \dot s = – k|s|^{\alpha}sgn(s), 0 < \alpha 0s˙=−εsgn(s)−ks,ε>0,k>0s˙=−k∣s∣αsgn(s),0<α<1​

s

g

n

(

s

)

=

{

1

,

s

>

0

−

1

,

s

0 \\ -1,s<0 \\ \end{cases}

sgn(s)={1,s>0−1,s<0​

根据以上的趋近律，我们就可以获得控制量

u

u

u 了(选取第一种控制率)。

u

=

−

c

x

2

−

ε

s

g

n

(

s

)

u = -cx_2-\varepsilon sgn(s)

u=−cx2​−εsgn(s)

我们对系统施加控制量

u

u

u 即可保证系统最终稳定在原点。

证明有效性

在控制原理中用李雅普诺夫函数来判断系统的稳定性，对于系统状态方程

s

˙

=

c

x

2

+

u

\dot s = cx_2+u

s˙=cx2​+u ，我们此时的目标已经是希望把系统拉倒滑模面附近了，控制目标是

s

s

s ,对于

s

s

s 如果存在一个连续函数

V

V

V 满足下面两个式子，那么系统将在平衡点

s

=

0

s=0

s=0 处稳定，即

lim

⁡

t

→

∞

V

=

0

{\lim\limits_{t \to \infty}V = 0}

t→∞lim​V=0

lim

⁡

∣

s

∣

→

∞

V

=

∞

{\lim\limits_{|s| \to \infty}V = \infty}

∣s∣→∞lim​V=∞

V

˙

<

0

 

f

o

r

 

s

≠

0

\dot V < 0 \ for \ s \ne 0

V˙<0 for s=0

我们证明的方法就是令

V

=

1

2

s

2

V= \frac {1} {2} s ^ 2

V=21​s2 ，很明显我们满足第一个条件，我们对

V

V

V 进行求导，

V

˙

=

s

s

˙

=

−

s

ε

s

g

n

(

s

)

=

−

ε

∣

s

∣

<

0

\dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = – \varepsilon|s| < 0

V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣<0

也是满足第二个条件的，所以最终系统会稳定在滑膜面附近，这也就意味着两个变量也会稳定在滑模面期望他们稳定在的位置，即零点。

无限时间问题

上面的分析看似无懈可击，实际上是没什么用的，因为我们最终得到的结论是，在时间趋于无穷时，系统的状态必将趋于0，这有用吗，并没有，因为无限时间这太恐怖了，人死了系统都没稳定的话这没什么意义，所以我们必须要求他是有限时间可达的，所以我们修改一个李雅普诺夫的第二个条件

V

˙

≤

−

α

V

1

2

\dot V \le – \alpha V ^ {\frac {1} {2}}

V˙≤−αV21​

对于改进后的这个条件可以分离变量再积分

d

V

d

t

≤

−

α

V

1

2

V

−

1

2

d

V

≤

−

α

d

t

∫

0

t

V

−

1

2

d

V

≤

∫

0

t

−

α

d

t

V

1

2

(

t

)

−

V

1

2

(

0

)

≤

−

1

2

α

t

V

1

2

(

t

)

≤

−

1

2

α

t

+

V

1

2

(

0

)

\begin {align} \frac {\text d V} {\text d t} &\le – \alpha V ^ {\frac {1} {2}} \nonumber\\ V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le – \alpha \text d t \nonumber\\ \int^{t}_{0} V ^ {- \frac {1} {2}} \text d V &\le \int^{t}_{0} – \alpha \text d t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) – V ^ {\frac {1} {2}} (0) &\le – \frac {1} {2} \alpha t \nonumber\\ V ^ {\frac {1} {2}} (t) &\le – \frac {1} {2} \alpha t + V ^ {\frac {1} {2}} (0) \nonumber \\ \end {align}

dtdV​V−21​dV∫0t​V−21​dVV21​(t)−V21​(0)V21​(t)​≤−αV21​≤−αdt≤∫0t​−αdt≤−21​αt≤−21​αt+V21​(0)​​

根据上面的等式可以看出，

V

V

V 将在有限时间达到稳定，稳定的最终时间为

t

r

≤

2

V

1

2

(

0

)

α

t_r \le \frac {2V^ \frac {1} {2} (0)} {\alpha}

tr​≤α2V21​(0)​

因为李雅普诺夫条件的改变，控制器

u

u

u 也需要作出相应改变

{

V

˙

=

s

s

˙

=

−

s

ε

s

g

n

(

s

)

=

−

ε

∣

s

∣

V

=

1

2

s

2

V

˙

≤

−

α

V

1

2

⇒

V

˙

=

−

ε

∣

s

∣

≤

−

α

s

2

⇒

ε

≥

α

2

\begin{cases} \dot V = s \dot s = -s \varepsilon sgn(s) = – \varepsilon|s|\\ V = \frac {1} {2} s ^ 2 \\ \dot V \le – \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \end{cases} \Rightarrow \dot V = – \varepsilon|s| \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \Rightarrow \varepsilon \ge \frac {\alpha} {\sqrt{2}}

⎩
⎨
⎧​V˙=ss˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣V=21​s2V˙≤−αV21​​⇒V˙=−ε∣s∣≤−α2
​s​⇒ε≥2
​α​

也就是给之前随意指定的

ε

\varepsilon

ε 增加了一个控制条件

干扰问题

上面的讨论其实还基于一个假设，没有干扰，没有干扰的控制是非常好做的，也是没什么实际意义的，这里我们将干扰项加入状态方程，之前我们讲到了滑膜方法对干扰是不敏感的，这里我们将从原理上解释为什么滑膜方法对干扰不敏感。

加入干扰后的状态方程

x

˙

1

=

x

2

x

˙

2

=

u

+

d

\begin{align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= u + d \nonumber\\ \end{align}

x˙1​x˙2​​=x2​=u+d​​

这对我们设计滑膜面没有什么影响，我们的滑膜面如下

s

=

c

x

1

+

x

2

s = cx_1+x_2

s=cx1​+x2​

我们的趋近律设计也不变

s

˙

=

−

ε

s

g

n

(

s

)

\dot s = – \varepsilon sgn(s)

s˙=−εsgn(s)

我们的控制量

u

u

u 也不变

u

=

−

ε

s

g

n

(

s

)

−

c

x

2

u = – \varepsilon sgn(s) – cx_2

u=−εsgn(s)−cx2​

s

˙

=

c

x

˙

1

+

x

˙

2

=

c

x

2

+

u

+

d

\begin{align} \dot s &= c \dot x_1 + \dot x_2 \nonumber\\ &=cx_2 + u + d \nonumber\\ \end{align}

s˙​=cx˙1​+x˙2​=cx2​+u+d​​

分析稳定性我们依旧使用李雅普诺夫函数

V

=

1

2

s

2

V

˙

=

s

s

˙

=

s

(

c

x

2

+

u

+

d

)

=

s

(

−

ε

s

g

n

(

s

)

+

d

)

≤

−

ε

∣

s

∣

+

s

d

≤

−

ε

∣

s

∣

+

s

L

≤

∣

s

∣

(

ε

−

L

)

\begin{align} V &= \frac {1} {2} s ^ 2 \nonumber\\ \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (cx_2 + u + d) \nonumber\\ &= s (- \varepsilon sgn(s) + d) \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sd \nonumber\\ & \le -\varepsilon|s| + sL \nonumber\\ & \le |s|(\varepsilon – L) \nonumber\\ \end{align}

VV˙​=21​s2=ss˙=s(cx2​+u+d)=s(−εsgn(s)+d)≤−ε∣s∣+sd≤−ε∣s∣+sL≤∣s∣(ε−L)​​

其中

L

L

L 为干扰

d

d

d 的上界

V

˙

≤

−

α

V

1

2

−

ε

∣

s

∣

+

s

L

≤

−

α

s

2

−

ε

∣

s

∣

≤

−

α

s

2

−

s

L

ε

∣

s

∣

≥

α

s

2

+

s

L

ε

≥

s

g

n

(

s

)

(

α

2

+

L

)

ε

≥

(

α

2

+

L

)

\begin{align} \dot V &\le – \alpha V ^ {\frac{1} {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| + sL & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} \nonumber\\ -\varepsilon|s| & \le -\alpha \frac{s}{\sqrt {2}} – sL \nonumber\\ \varepsilon|s| & \ge \alpha \frac{s}{\sqrt {2}} + sL \nonumber\\ \varepsilon & \ge sgn(s)(\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \varepsilon & \ge (\frac{\alpha}{\sqrt {2}} + L) \nonumber\\ \end{align}

V˙−ε∣s∣+sL−ε∣s∣ε∣s∣εε​≤−αV21​≤−α2
​s​≤−α2
​s​−sL≥α2
​s​+sL≥sgn(s)(2
​α​+L)≥(2
​α​+L)​​

所以我们直接证明了，当我们的干扰有上界的情况下，我们的滑膜参数 $\varepsilon $ 只需要满足上述条件就可以以指数级的收敛速度收敛到滑膜面附近。

三阶系统滑膜设计方法示例

三阶系统的模型如下

x

˙

1

=

x

2

x

˙

2

=

x

3

x

˙

3

=

f

(

x

)

+

g

(

x

)

u

\begin {align} \dot x_1 &= x_2 \nonumber\\ \dot x_2 &= x_3 \nonumber\\ \dot x_3 &= f(x) + g(x)u \nonumber\\ \end {align}

x˙1​x˙2​x˙3​​=x2​=x3​=f(x)+g(x)u​​

假设，我们期望的

x

1

x_1

x1​ 的目标是

x

1

d

x_{1d}

x1d​ ，注意，这里和前文不同，这里的控制目标不在是0了

e

1

=

x

1

−

x

1

d

e

2

=

e

˙

1

=

x

˙

1

−

x

˙

1

d

=

x

2

−

x

˙

1

d

e

3

=

e

˙

2

=

x

¨

1

−

x

¨

1

d

=

x

3

−

x

¨

1

d

\begin{align} e_1 &= x_1 – x_{1d} \nonumber\\ e_2 &= \dot e_1 = \dot x_1 – \dot x_{1d} = x_2 – \dot x_{1d} \nonumber\\ e_3 &= \dot e_2 = \ddot x_1 – \ddot x_{1d} = x_3 – \ddot x_{1d} \nonumber\\ \end{align}

e1​e2​e3​​=x1​−x1d​=e˙1​=x˙1​−x˙1d​=x2​−x˙1d​=e˙2​=x¨1​−x¨1d​=x3​−x¨1d​​​

设计滑模面

s

=

c

1

e

1

+

c

2

e

2

+

e

3

s = c_1 e_1 + c_2 e_2 + e_3

s=c1​e1​+c2​e2​+e3​

设计李雅普诺夫函数

V

=

1

2

s

2

V = \frac{1}{2} s ^ 2

V=21​s2

对李雅普诺夫函数进行求导

V

˙

=

s

s

˙

=

s

(

c

1

e

˙

1

+

c

2

e

˙

2

+

e

˙

3

)

=

s

(

c

1

e

2

+

c

2

e

3

+

x

3

−

x

¨

1

d

(

3

)

)

=

s

(

c

1

e

2

+

c

2

e

3

+

x

3

−

f

(

x

)

+

g

(

x

)

u

−

x

1

d

(

3

)

)

=

s

(

Γ

−

f

(

x

)

+

g

(

x

)

u

−

x

1

d

(

3

)

)

=

s

g

(

x

)

(

Γ

−

f

(

x

)

−

x

1

d

(

3

)

g

(

x

)

+

u

)

\begin{align} \dot V &= s \dot s \nonumber\\ &= s (c_1 \dot e_1 + c_2 \dot e_2 + \dot e_3) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 – \ddot x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (c_1 e_2 + c_2 e_3 + x_3 – f(x) + g(x)u – x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= s (\Gamma – f(x) + g(x)u – x^{(3)}_{1d}) \nonumber\\ &= sg(x)(\frac {\Gamma – f(x) – x^{(3)}_{1d}} {g(x)} + u) \nonumber\\ \end{align}

V˙​=ss˙=s(c1​e˙1​+c2​e˙2​+e˙3​)=s(c1​e2​+c2​e3​+x3​−x¨1d(3)​)=s(c1​e2​+c2​e3​+x3​−f(x)+g(x)u−x1d(3)​)=s(Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)​)=sg(x)(g(x)Γ−f(x)−x1d(3)​​+u)​​

这里我们设计趋近律

s

˙

=

−

ε

s

g

n

(

s

)

=

Γ

−

f

(

x

)

+

g

(

x

)

u

−

x

1

d

(

3

)

\dot s = – \varepsilon sgn(s) = \Gamma – f(x) + g(x)u – x^{(3)}_{1d}

s˙=−εsgn(s)=Γ−f(x)+g(x)u−x1d(3)​

得到控制量

u

u

u

u

=

−

ε

s

g

n

(

s

)

−

Γ

+

f

(

x

)

+

x

1

d

(

3

)

g

(

x

)

u = \frac {-\varepsilon sgn(s) – \Gamma + f(x) + x^{(3)}_{1d}} {g(x)}

u=g(x)−εsgn(s)−Γ+f(x)+x1d(3)​​

带入李雅普诺夫函数可得

V

˙

=

−

s

ε

s

g

n

(

s

)

=

−

ε

∣

s

∣

≤

0

\dot V = -s \varepsilon sgn(s) = -\varepsilon |s| \le 0

V˙=−sεsgn(s)=−ε∣s∣≤0

这里可以看到系统必将稳定，如果需要控制到达稳定的时间就限制

ε

\varepsilon

ε 即可