韦达定理用处多
文章目录
- 前言
- 一、一元二次方程中根和系数之间的关系
- 二、韦达定理的数学推导和作用
-
- 1. 韦达定理的数学推导
- 2. 韦达定理的作用
- 三、韦达定理的应用举例
-
- 1. 解题示例1
- 2. 解题示例2
- 3. 解题示例3
- 4. 解题示例4
- 5. 解题示例5
- 6. 解题示例6
- 7. 解题示例7
- 总结
前言
韦达定理说明了一元n次方程中根和系数之间的关系。法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。有趣的是，韦达在16世纪就得出这个定理，证明这个定理要依靠代数基本定理，而代数基本定理却是在1799年才由高斯作出第一个实质性的论证。 韦达定理在方程论中有着广泛的应用。
一、一元二次方程中根和系数之间的关系
韦达定理指出了一元n次方程中根和系数之间的关系。
这里只谈一元二次方程中根和系数之间的关系。
对于一元二次方程
a
x
2
+
b
x
+
c
=
0
(
a
≠
0
且△
=
b
2
−
4
a
c
>
0
)
ax^2+bx+c=0 \space (a≠0 且△=b^2-4ac>0)
ax2+bx+c=0 (a=0且△=b2−4ac>0)的两个根为
x
1
，
x
2
x_1，x_2
x1，x2 有
x
1
+
x
2
=
−
b
a
x_1+x_2= – \frac b a
x1+x2=−ab
x
1
⋅
x
2
=
c
a
x_1·x_2= \frac c a
x1⋅x2=ac
1
x
1
+
1
x
2
=
x
1
+
x
2
x
1
⋅
x
2
\frac {1} {x_1} + \frac{1} {x_2} = \frac {x_1+x_2}{x_1·x_2}
x11+x21=x1⋅x2x1+x2
二、韦达定理的数学推导和作用
1. 韦达定理的数学推导
由一元二次方程求根公式知：
x
1
,
2
=
−
b
±
b
2
−
4
a
c
2
a
x_{1,2} = \frac {-b \pm \sqrt {b^2 – 4ac}} {2a}
x1,2=2a−b±b2−4ac
则有：
x
1
+
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
+
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
−
b
a
x_1 + x_2 = \frac {-b + \sqrt {b^2 – 4ac}} {2a} + \frac {-b – \sqrt {b^2 – 4ac}} {2a} = – \frac {b} {a}
x1+x2=2a−b+b2−4ac
+2a−b−b2−4ac
=−ab
x
1
⋅
x
2
=
−
b
+
b
2
−
4
a
c
2
a
×
−
b
−
b
2
−
4
a
c
2
a
=
c
a
x_1 \cdot x_2 = \frac {-b + \sqrt {b^2 – 4ac}} {2a} \times \frac {-b – \sqrt {b^2 – 4ac}} {2a} = \frac {c} {a}
x1⋅x2=2a−b+b2−4ac
×2a−b−b2−4ac
=ac
2. 韦达定理的作用
不论是解方程，还是研究方程的性质，韦达定理都很有用。
一般来说，韦达定理主要有以下四个方面的用途。
(1）利用韦达定理可以观察出一些一元二次方程的根；
(2）已知方程的两根之间的某种关系，可以求出方程的系数来；
(3）已知二次方程，求它的两个根的齐次幂的和；
(4）已知二次方程，求作一个新的二次方程，使得两个方程的根满足某种关系。
三、韦达定理的应用举例
1. 解题示例1
对于方程
x
2
−
(
m
−
1
)
x
+
m
−
7
=
0
x^2 – (m-1)x + m-7 = 0
x2−(m−1)x+m−7=0
已知下列条件之一，求m的值。
（1）有一个根为0；
（2）两根互为倒数；
（3）两根互为相反数。
解：
（1）已知“有一个根为0”，不妨设
x
1
=
0
x_1=0
x1=0。由韦达定理可知
x
1
⋅
x
2
=
m
−
7
x_1 \cdot x_2 = m-7
x1⋅x2=m−7
∵
x
1
=
0
\because x_1=0
∵x1=0
∴
m
−
7
=
0
,
m
=
7
\therefore m-7=0, m=7
∴m−7=0,m=7
（2）已知“两根互为倒数”，必有
x
1
=
1
x
2
x_1= \frac {1} {x_2}
x1=x21。由韦达定理可知
x
1
⋅
x
2
=
m
−
7
x_1 \cdot x_2 = m-7
x1⋅x2=m−7
∵
x
1
⋅
x
2
=
x
1
⋅
1
x
1
=
1
\because x_1 \cdot x_2 = x_1 \cdot \frac {1} {x_1} = 1
∵x1⋅x2=x1⋅x11=1
∴
m
−
7
=
1
,
m
=
8
\therefore m-7=1, \space m=8
∴m−7=1, m=8
（3）已知“两根互为相反数”，必有
x
1
=
−
x
2
x_1= -x_2
x1=−x2。由韦达定理可知
x
1
+
x
2
=
m
−
1
x_1 + x_2 = m-1
x1+x2=m−1
∵
x
1
+
x
2
=
0
\because x_1 + x_2 = 0
∵x1+x2=0
∴
m
−
1
=
0
,
m
=
1
\therefore m-1=0, \space m=1
∴m−1=0, m=1
2. 解题示例2
已知方程
x
2
+
2
x
−
18
=
0
x^2 + 2x -18 = 0
x2+2x−18=0的两根为
α
,
β
\alpha, \beta
α,β。
（1）写出以
2
α
+
3
β
2\alpha+3\beta
2α+3β，
2
β
+
3
α
2\beta+3\alpha
2β+3α为两根的方程；
（2）写出以
α
+
2
β
\alpha+\frac{2}{\beta}
α+β2，
β
+
2
α
\beta+\frac{2}{\alpha}
β+α2为两根的方程。
解：
（1）由韦达定理得
α
+
β
=
−
2
，
α
⋅
β
=
−
18
\alpha+\beta = -2，\space \alpha \cdot \beta = -18
α+β=−2， α⋅β=−18
∵
(
2
α
+
3
β
)
+
(
2
β
+
3
α
)
=
5
(
α
+
β
)
=
5
×
(
−
2
)
=
−
10
\because (2\alpha+3\beta) + (2\beta+3\alpha) = 5(\alpha+\beta) = 5 \times (-2) = -10
∵(2α+3β)+(2β+3α)=5(α+β)=5×(−2)=−10
又
∵
(
2
α
+
3
β
)
⋅
(
2
β
+
3
α
)
\because (2\alpha+3\beta) \cdot (2\beta+3\alpha)
∵(2α+3β)⋅(2β+3α)
=
6
α
2
+
13
α
β
+
6
β
2
=6\alpha^2+13\alpha\beta+6\beta^2
=6α2+13αβ+6β2
=
6
(
α
2
+
β
2
)
+
13
×
(
−
18
)
=6(\alpha^2+\beta^2)+13\times(-18)
=6(α2+β2)+13×(−18)
=
6
(
α
2
+
β
2
)
−
234
=6(\alpha^2+\beta^2)-234
=6(α2+β2)−234
而
α
2
+
β
2
=
(
α
+
β
)
2
−
2
α
β
\alpha^2+\beta^2 = (\alpha+\beta)^2 – 2\alpha\beta
α2+β2=(α+β)2−2αβ
=
(
−
2
)
2
−
2
×
(
−
18
)
=
40
=(-2)^2 – 2\times(-18) = 40
=(−2)2−2×(−18)=40
∴
(
2
α
+
3
β
)
⋅
(
2
β
+
3
α
)
\therefore (2\alpha+3\beta) \cdot (2\beta+3\alpha)
∴(2α+3β)⋅(2β+3α)
=
6
×
40
−
234
=
6
=6\times40-234 = 6
=6×40−234=6
∴
所求方程为
x
2
+
10
x
+
6
=
0
\therefore 所求方程为x^2 + 10x + 6 = 0
∴所求方程为x2+10x+6=0
（1）由韦达定理得
(
α
+
2
β
)
+
(
β
+
2
α
)
(\alpha+\frac{2}{\beta}) + (\beta+\frac{2}{\alpha})
(α+β2)+(β+α2)
=
α
+
β
+
2
α
+
β
α
β
= \alpha + \beta + 2 \frac {\alpha+\beta} {\alpha\beta}
=α+β+2αβα+β
=
−
2
+
2
×
−
2
−
18
=
−
16
9
= -2 + 2 \times \frac{-2}{-18} = – \frac {16} {9}
=−2+2×−18−2=−916
又
(
α
+
2
β
)
⋅
(
β
+
2
α
)
(\alpha+\frac{2}{\beta}) \cdot (\beta+\frac{2}{\alpha})
(α+β2)⋅(β+α2)
=
α
β
+
4
α
β
+
4
=
−
18
+
4
−
18
+
4
=
−
128
9
= \alpha \beta + \frac {4} { \alpha \beta} +4 = -18 + \frac {4} {-18} + 4 = – \frac {128} {9}
=αβ+αβ4+4=−18+−184+4=−9128
∴
所求方程为
9
x
2
+
16
x
−
128
=
0
\therefore 所求方程为9x^2 + 16x – 128 = 0
∴所求方程为9×2+16x−128=0
3. 解题示例3
已知方程
x
2
−
x
−
4
=
0
x^2 – x – 4 = 0
x2−x−4=0，不许解方程，求
x
1
2
+
x
2
2
x_1^2 + x_2^2
x12+x22和
1
x
1
3
+
1
x
2
3
\frac {1} {x_1^3} + \frac {1} {x_2^3}
x131+x231的值。 (1956年北京市中学生数学竞赛试题)
解：
由韦达定理可知
x
1
+
x
2
=
1
，
x
1
⋅
x
2
=
−
4
x_1 + x_2 = 1，x_1 · x_2 = -4
x1+x2=1，x1⋅x2=−4
x
1
2
+
x
2
2
=
(
x
1
+
x
2
)
2
−
2
x
1
x
2
=
1
2
−
2
×
(
−
4
)
=
9
x_1^2 + x_2^2 = ( x_1 + x_2)^2 – 2 x_1 x_2 = 1^2 – 2 \times (-4) = 9
x12+x22=(x1+x2)2−2×1x2=12−2×(−4)=9
1
x
1
3
+
1
x
2
3
\frac {1} {x_1^3} + \frac {1} {x_2^3}
x131+x231
=
x
1
3
+
x
2
3
x
1
3
⋅
x
2
3
=
(
x
1
+
x
2
)
(
x
1
2
−
x
1
x
2
+
x
2
2
)
(
x
1
⋅
x
2
)
3
= \frac {x_1^3 + x_2^3} {x_1^3 \cdot x_2^3} = \frac {(x_1+x_2)( x_1^2 -x_1 x_2+ x_2^2)} {(x_1 \cdot x_2)^3}
=x13⋅x23x13+x23=(x1⋅x2)3(x1+x2)(x12−x1x2+x22)
=
(
x
1
+
x
2
)
[
(
x
1
2
+
x
2
2
)
−
x
1
x
2
]
(
x
1
⋅
x
2
)
3
= \frac {(x_1+x_2)[( x_1^2 + x_2^2) – x_1 x_2]} {(x_1 \cdot x_2)^3}
=(x1⋅x2)3(x1+x2)[(x12+x22)−x1x2]
1
×
[
9
−
(
−
4
)
]
(
−
4
)
3
=
−
13
64
\frac {1 \times [9-(-4)]} {(-4)^3} = – \frac {13} {64}
(−4)31×[9−(−4)]=−6413
4. 解题示例4
已知
p
+
q
=
198
p+q=198
p+q=198，求方程
x
2
+
p
x
+
q
=
0
x^2+px+q=0
x2+px+q=0的整数根. (94祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为
x
1
,
x
2
x_1, x_2
x1,x2，不妨设
x
1
≤
x
2
x_1≤x_2
x1≤x2. 由韦达定理，得
x
1
+
x
2
=
−
p
，
x
1
⋅
x
2
=
q
x_1+x_2=-p，x_1 \cdot x_2=q
x1+x2=−p，x1⋅x2=q
于是
p
+
q
=
x
1
⋅
x
2
−
(
x
1
+
x
2
)
=
198
p+q=x_1·x_2-(x_1+x_2)=198
p+q=x1⋅x2−(x1+x2)=198
即
x
1
⋅
x
2
−
x
1
−
x
2
+
1
=
199
x_1·x_2-x_1-x_2+1=199
x1⋅x2−x1−x2+1=199
∴运用提取公因式法
(
x
1
−
1
)
⋅
(
x
2
−
1
)
=
199
(x_1-1)·(x_2-1)=199
(x1−1)⋅(x2−1)=199
注意到
(
x
1
−
1
)
,
(
x
2
−
1
)
(x_1-1), (x_2-1)
(x1−1),(x2−1)均为整数，
解得
x
1
=
2
，
x
2
=
200
；
x
1
=
−
198
，
x
2
=
0
x_1=2，x_2=200；x_1=-198，x_2=0
x1=2，x2=200；x1=−198，x2=0
5. 解题示例5
已知关于
x
x
x的方程
x
2
−
(
12
−
m
)
x
+
m
−
1
=
0
x^2-(12-m)x+m-1=0
x2−(12−m)x+m−1=0的两个根都是正整数，求
m
m
m的值.
解：设方程的两个正整数根为
x
1
,
x
2
x_1,x_2
x1,x2，且不妨设
x
1
≤
x
2
x_1≤x_2
x1≤x2.由韦达定理得
x
1
+
x
2
=
12
−
m
，
x
1
⋅
x
2
=
m
−
1
x_1+x_2=12-m，x_1 \cdot x_2=m-1
x1+x2=12−m，x1⋅x2=m−1
于是
x
1
⋅
x
2
+
x
1
+
x
2
=
11
x_1 \cdot x_2 + x_1+x_2 = 11
x1⋅x2+x1+x2=11
即
(
x
1
+
1
)
(
x
2
+
1
)
=
12
(x_1+1)( x_2+1)=12
(x1+1)(x2+1)=12
∵
x
1
,
x
2
x_1, x_2
x1,x2为正整数，
解得
x
1
=
1
，
x
2
=
5
；
x
1
=
2
，
x
2
=
3
x_1=1，x_2=5；x_1=2，x_2=3
x1=1，x2=5；x1=2，x2=3
故有
m
=
6
，或
m
=
7.
m=6，或m=7.
m=6，或m=7.
6. 解题示例6
求实数
k
k
k，使得方程
k
x
2
+
(
k
+
1
)
x
+
(
k
−
1
)
=
0
kx^2+(k+1)x+(k-1)=0
kx2+(k+1)x+(k−1)=0的根都是整数.
解：若
k
=
0
k=0
k=0，得
x
=
1
x=1
x=1，即
k
=
0
k=0
k=0符合要求.
若
k
≠
0
k≠0
k=0，设二次方程的两个整数根为
x
1
,
x
2
x_1,x_2
x1,x2，且
x
1
≤
x
2
x_1≤x_2
x1≤x2，由韦达定理得
x
1
+
x
2
=
−
k
+
1
k
，
x
1
⋅
x
2
=
k
−
1
k
x_1+x_2 = – \frac {k+1} {k}，x_1 \cdot x_2 = \frac {k-1} {k}
x1+x2=−kk+1，x1⋅x2=kk−1
∴
x
1
⋅
x
2
−
x
1
−
x
2
=
k
−
1
k
−
(
−
k
+
1
k
)
=
2
∴ x_1 \cdot x_2 – x_1 – x_2 = \frac {k-1} {k} – (- \frac {k+1} {k}) = 2
∴x1⋅x2−x1−x2=kk−1−(−kk+1)=2
∴
(
x
1
−
1
)
(
x
2
−
1
)
=
3
∴ (x_1-1)( x_2-1)=3
∴(x1−1)(x2−1)=3
因为
x
1
−
1
,
x
2
−
1
x_1 – 1, x_2 – 1
x1−1,x2−1均为整数，所以有
x
1
=
2
，
x
2
=
4
；
x
1
=
−
2
，
x
2
=
0
x_1=2，x_2=4；x_1=-2，x_2=0
x1=2，x2=4；x1=−2，x2=0
所以
k
=
1
，或
k
=
−
1
7
k=1，或k=- \frac 1 7
k=1，或k=−71
7. 解题示例7
已知二次函数
y
=
−
x
2
+
p
x
+
q
y=-x^2+px+q
y=−x2+px+q的图像与
x
x
x轴交于
(
α
，
0
)
、
(
β
，
0
)
(α，0)、(β，0)
(α，0)、(β，0)两点，且
α
>
1
>
β
α>1>β
α>1>β，求证：
p
+
q
>
1
p+q>1
p+q>1. (1997年四川省初中数学竞赛试题)
证明：由题意，可知方程
−
x
2
+
p
x
+
q
=
0
-x^2+px+q=0
−x2+px+q=0，即
x
2
−
p
x
−
q
=
0
x^2-px-q=0
x2−px−q=0的两根为
α
,
β
α,β
α,β.
由韦达定理得
α
+
β
=
p
，
α
β
=
−
q
α+β=p，αβ=-q
α+β=p，αβ=−q
于是
p
+
q
=
α
+
β
−
α
β
=
−
(
α
β
−
α
−
β
+
1
)
+
1
p+q=α+β-αβ=-(αβ-α-β+1)+1
p+q=α+β−αβ=−(αβ−α−β+1)+1
因为
α
>
1
>
β
α>1>β
α>1>β，故
p
+
q
=
−
(
α
−
1
)
(
β
−
1
)
+
1
>
1
p+q = -(α-1)(β-1)+1 > 1
p+q=−(α−1)(β−1)+1>1
总结
法国数学家韦达（F. Vieta，1540—1603）第一次有意识地使用系统的代数字母与符号，以辅音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推进了方程论的发展，使代数成为一般类型的形式和方程的学问，因其抽象而应用更为广泛，被称为“代数符号之父”，在研究一元二次方程的解法时，他发现了一元二次方程的根与系数之间存在的特殊关系。 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，人们把这个关系称为韦达定理。
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