最大比合并 MRC的介绍、证明及应用举例

一、介绍

二、证明

三、应用举例

最大比合并是我在阅读Joint Active and Passive Beamforming for Reconfigurable Intelligent Surface这篇文章时学习的知识。下面对最大比合并进行介绍。

一、介绍

最大比合并（Maximal Ratio Combining，MRC）是分集合并技术中的最优选择，相对于选择合并和等增益合并可以获得最好的性能，其性能提升是由阵列增益（阵列增益即发射的信号的功率增益，是通过发送机和/或接收机的多个天线而实现功率增益的，一般在LTE中，增加一个天线会有3db的增益）带来的更高的信噪比，进而带来更好的误码率特性。

最大比合并的实现方式是通过给分集的N路不同信号乘上一个不同的系数 $w_{i}, i=1,2, \ldots \ldots, N$ ，而系数的确定与N路分支的衰落系数 $h_{i}, i=1,2, \ldots \ldots, N$ 有关。

通常有如下关系：

$\frac{w_{m}}{w_{n}}=\frac{h_{m}}{h_{n}}$

下面对最大比合并是最优合并方案给出证明。

二、证明

如上所述，考虑一个加性高斯白噪声（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道，设发送符号功率为 $E_{S}$ ，噪声功率谱密度为 $N_{0}$ ，N条之路的衰落系数为 $h_{i}, i=1,2, \ldots \ldots, N$ ，合并加权系数为 $w_{i}, i=1,2, \ldots \ldots, N$ ，则接收端的和信噪比为：

$S N R=\frac{\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n} h_{b} \sqrt{E_{s}}\right)^{2}}{\sum_{n=1}^{N} w_{n}{ }^{2} N_{0}}=\frac{E_{s}}{N_{0}} \frac{\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n} h_{b}\right)^{2}}{\sum_{n=1}^{N} w_{n}{ }^{2}}$

因为 $N_{0}$ 和 $E_{S}$ 都为定值（常数），所以如果要让SNR最大，此时我们能控制的改变的参数为合并加权系数 $w_{i}, i=1,2, \ldots \ldots, N$ 。所以通过SNR对 $w_{i}$ 求一阶偏导：

$\frac{\partial S N R}{\partial w_{i}}=0, i=1,2, \cdots \cdots, N$

由于原贴中没有给出详细求解过程，此处我给出自己的详细计算过程方便大家理解：

（1）一阶分式求导（按求导公式来）：

$\frac{\partial S N R}{\partial w_{i}}=\frac{E_{s}}{N_{0}} \frac{2\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n} h_{n}\right) h_{i}\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n}^{2}\right)-2 w_{i}\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n} h_{n}\right)^{2}}{\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n}^{2}\right)^{2}}$

（2）令偏导为0（也就是令分子为0）：

$2\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n} h_{n}\right) h_{i}\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n}^{2}\right)-2w_{i}\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n} h_{n}\right)^{2}=0$

（3）化简等式（除去相同项）：

$h_{i}\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n}^{2}\right)-w_{i}\left(\sum_{n=1}^{N} w_{n} h_{n}\right)=0$

最终得出如下：

$h_{i} \sum_{n=1}^{N} w_{n}^{2}={w}_{i} \sum_{n=1}^{N} h_{n} w_{n}$

那么我们取当i=1和i=2来观察这个式子，通过消去相同项可以得到：

$h_{1} w_{2}=h_{2} w_{1}$

也就是下面这项式子成立：

$\frac{w_{m}}{w_{n}}=\frac{h_{m}}{h_{n}}$

至此证毕。

三、应用举例

那么这个方法在具体应用中该如何使用呢，下面用Joint Active and Passive Beamforming for Reconfigurable Intelligent Surface这篇文章作为例子：

（1）系统模型

该文章考虑了一个 RIS 增强型共生无线电下行链路系统，它由一个具有 Q (Q ≥ 1) 个天线的基站BS、K (K ≥ 1) 个单天线反向散射设备BD、一个具有 M 反射元件(M ≥ 1) 的 RIS 组成) 和单天线主接收器PR。关于信道系数不再赘述。

其中BD 的符号周期是主信号的 N 倍，其中 N 是整数，远大于 1（共生无线电的特点）。

系统建模示意图如下：

最大比合并 MRC的介绍、证明及应用举例

（2）具体应用

设BS发射的信号为s(n)，BD发射的信号为c。对于给定的 c，PR 通过利用反向散射链路信号作为有用的多路径来解码主信号 s(n)，具有如下解码信噪比 (SNR)：

$\gamma_{l}=\frac{\left|\left(\mathbf{h}^{H}+\mathbf{v}^{H} \boldsymbol{\Phi} \mathbf{U}+\sum_{k=1}^{K} \sqrt{\alpha_{k}} c_{k} b_{k}\left(\mathbf{f}_{k}^{H}+\mathbf{g}_{k}^{H} \boldsymbol{\Phi U}\right)\right) \mathbf{w}\right|^{2}}{\sigma^{2}}$

假设 PR 通过连续干扰消除 (SIC) 对 BD 的符号 c 进行解码，即在解码 c 之前从 y(n) 中减去 s(n)。由于假设了完美的 SIC，因此干扰仅来自其他 BD 的反向散射信号。由于 BD 的符号周期比主信号的符号周期长得多，因此使用最大比合并来解码 BD 的符号。因此，解码 ck 的 SINR 为：

$\gamma_{k}=\mathbb{E}_{s(n)}\left[\frac{N \alpha_{k}|s(n)|^{2}\left|b_{k}\left(\mathbf{f}_{k}^{H}+\mathbf{g}_{k}^{H} \boldsymbol{\Phi} \mathbf{U}\right) \mathbf{w}\right|^{2}}{|s(n)|^{2} \sum_{i \neq k}^{K} \alpha_{i}\left|b_{i}\left(\mathbf{f}_{i}^{H}+\mathbf{g}_{i}^{H} \boldsymbol{\Phi} \mathbf{U}\right) \mathbf{w}\right|^{2}+\sigma^{2}}\right]$