数据结构奇妙旅程之二叉树初阶

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 一.树

1.概念（简单了解即可）

树是一种
非线性
的数据结构，它是由
n
（
n>=0
）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
把它叫做树是因为它看

起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的
。它具有以下的特点：

有一个特殊的结点，称为根结点，根结点没有前驱结点

除根结点外，其余结点被分成
M(M > 0)
个互不相交的集合
T1
、
T2
、
……
、
Tm
，其中每一个集合
Ti (1 <= i <= m) 又是一棵与树类似的子树。

每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有
0
个或多个后继 。树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构

2.树的基本术语

2.1需要重点记忆的

结点的度：一个结点含有子树的个数称为该结点的度； 如上图：A的度为3

树的度
：一棵树中，所有结点度的最大值称为树的度； 如上图：树的度为3

叶子结点或终端结点
：度为
0
的结点称为叶结点； 如上图：E, F, G, H, I, J
等节点为叶结点

双亲结点或父结点
：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点； 如上图：
A
是
B
的父结点

孩子结点或子结点
：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点； 如上图：
B
是
A
的孩子结点

根结点
：一棵树中，没有双亲结点的结点；如上图：
A

结点的层次
：从根开始定义起，根为第
1
层，根的子结点为第
2
层，以此类推

树的高度或深度
：树中结点的最大层次； 如上图：树的高度为3

2.2简单了解即可

非终端结点或分支结点
：度不为
0
的结点； 如上图：B
、C
、D
等节点为分支结点

兄弟结点
：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点； 如上图：
B
、
C
是兄弟结点

堂兄弟结点
：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图：
H
、
I
互为兄弟结点

结点的祖先
：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图：
A
是所有结点的祖先

子孙
：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是
A
的子孙

森林
：由
m
（
m>=0
）棵互不相交的树组成的集合称为森林

3.树的代码表示形式（简单了解）

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，实际中树有很多种表示方式，如：双亲表示法，

孩子表示法
、
孩子双亲表示法
、
孩子兄弟表示法
等等。我们这里就简单的了解其中最常用的
孩子兄弟表示法
。

class Node {
int value; // 树中存储的数据
Node firstChild; // 第一个孩子引用
Node nextBrother; // 下一个兄弟引用
}

二.二叉树（重点掌握）

1.概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合：

1.
或者为空

2.
或者是由
一个根节
点加上两棵别称为
左子树
和
右子树
的二叉树组成。

从上图可以看出：

1.
二叉树不存在度大于
2
的结点

2.
二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

1.1二叉树的基本形态

1.2两种特殊的二叉树

1.
满二叉树
:
一棵二叉树，如果
每层的结点数都达到最大值，则这棵二叉树就是满二叉树
。也就是说，
如果一棵
二叉树的层数为
K
，且结点总数是 2^k – 1 
，则它就是满二叉树
。

2.
完全二叉树
:
完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为
K
的，有
n

个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为
K
的满二叉树中编号从
0
至
n-1
的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 2.性质

1.
若规定
根结点的层数为
1
，则一棵
非空二叉树的第
i
层上最多有 2^(i-1) 
(i>0)
个结点

2.
若规定只有
根结点的二叉树的深度为
1
，则
深度为
K
的二叉树的最大结点数是2^k – 1

(k>=0)

3.
对任何一棵二叉树
,
如果其
叶结点个数为
n0,
度为
2
的非叶结点个数为
n2,
则有
n0
＝
n2
＋
1

4.
具有
n
个结点的完全二叉树的深度
k
为 log2(n+1) 
上取整

5.
对于具有
n
个结点的完全二叉树
，如果按照
从上至下从左至右的顺序对所有节点从
0
开始编号
，则对于
序号为
i
的结点有
：

若i>0
，
双亲序号：
(i-1)/2
；
i=0
，
i
为根结点编号
，无双亲结点

若
2i+1<n
，左孩子序号：
2i+1
，否则无左孩子

若
2i+2<n
，右孩子序号：
2i+2
，否则无右孩子

3.基本操作

public class BinaryTree {
    static class TreeNode {
        public char val;
        public TreeNode left;
        public TreeNode right;
        public TreeNode(char val) {
            this.val = val;
        }
    }

    //以穷举的方式 创建一棵二叉树出来
    public TreeNode createTree() {
        TreeNode A = new TreeNode('A');
        TreeNode B = new TreeNode('B');
        TreeNode C = new TreeNode('C');
        TreeNode D = new TreeNode('D');
        TreeNode E = new TreeNode('E');
        TreeNode F = new TreeNode('F');
        TreeNode G = new TreeNode('G');
        TreeNode H = new TreeNode('H');
        A.left = B;
        A.right = C;
        B.left = D;
        B.right = E;
        C.left = F;
        C.right = G;
        E.right = H;
        return A;
    }
    //前序遍历
   public void preOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        System.out.print(root.val + " ");
        preOrder(root.left);
        preOrder(root.right);
    }
    //中序遍历
    public void inOrder(TreeNode root) {
        if(root == null){
            return;
        }
        inOrder(root.left);
        System.out.print(root.val + " ");
        inOrder(root.right);
    }
    //后序遍历
    public void postOrder(TreeNode root) {
        if(root == null){
            return;
        }
        postOrder(root.left);
        postOrder(root.right);
        System.out.print(root.val + " ");
    }
    // 获取二叉树中节点的个数
    public int size(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        return size(root.left)+size(root.right)+1;
    }
    // 获取叶子节点的个数
    public int getLeafNodeCount(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(root.left == null && root.right == null) {
            return 1;
        }
        return getLeafNodeCount(root.left) + getLeafNodeCount(root.right);
    }
    // 获取第K层节点的个数
    public int getKLevelNodeCount(TreeNode root,int k) {
        if(root == null) {
            return 0;
        }
        if(k == 1) {
            return 1;
        }
        return getKLevelNodeCount(root.left,k-1) + getKLevelNodeCount(root.right,k-1);
    }
    // 获取二叉树的高度
    public int getHeight(TreeNode root) {
      if(root == null) {
          return 0;
      }
      int leftH = getHeight(root.left);
      int rightH = getHeight(root.right);
      return Math.max(leftH,rightH)+1;
    }
    // 检测值为value的元素是否存在
    public boolean find(TreeNode root,char val) {
        if(root == null) {
            return false;
        }
        if(root.val == val) {
            return true;
        }
        return find(root.left, val) || find(root.right, val);
    }
    //层序遍历使用队列来辅助
    //当涉及到层序遍历时，通常情况下使用队列来实现会更为简单和高效
    public void levelOrder(TreeNode root) {
        if(root == null) {
            return;
        }
        Queue q = new LinkedList();
        q.offer(root);
        while (!q.isEmpty()) {
           TreeNode cur = q.poll();
            System.out.print(cur.val + " ");
            if(cur.left != null) {
                q.offer(cur.left);
            }
            if(cur.right != null) {
                q.offer(cur.right);
            }
        }
    }
    // 判断一棵树是不是完全二叉树
    public boolean isCompleteTree(TreeNode root) {
        if (root == null) {
            return true;
        }
        Queue queue = new LinkedList();
        queue.offer(root);
        boolean end = false;
        while (!queue.isEmpty()) {
            TreeNode current = queue.poll();
            if (current == null) {
                end = true;
            } else {
                if (end) {
                    return false; // 如果已经遇到空节点，再遇到非空节点，说明不是完全二叉树
                }
                queue.offer(current.left);
                queue.offer(current.right);
            }
        }
        return true;
    }
}

 三.说明

以上就是关于二叉树的一些基础问题了，如果你已经对这些比较基础的问题都大概了解，就可以开始尝试做题，你也可以移步到博主的下一篇关于二叉树面试题的文章，帮助你更好的掌握二叉树，感谢你的观看，愿你一天开心愉快