算法(4)——前缀和

目录

一、前缀和的定义

二、一维前缀和

三、一维前缀和OJ题

3.1、前缀和

3.2、寻找数组中心下标

3.3、除自身以外数组的乘积

3.4、和为K的数组

3.5、和可被K整除的子数组

3.6、连续数组

四、二位前缀和

4.1、二维前缀和

4.2、矩阵区域和

一、前缀和的定义

对于一个给定的数列A，他的前缀和数中 S 中 S[ i ] 表示从第一个元素到第 i 个元素的总和。

如下图：绿色区域的和就是前缀和数组中的 S [ 6 ]。

这里我们需要注意的是：前6个数的和为什么是S【6】呢？数组第6个数下标不应该是5吗？

是的，我们在下表面推导公式会讲到这个问题。

二、一维前缀和

前缀和数组的每一项是可以通过原序列以递推的方式推出来的，递推公式就是：S[ i ] = S[  i – 1 ] + A[ i ]。S[  i – 1 ] 表示前 i – 1 个元素的和，在这基础上加上 A[ i ]，就得到了前 i 个元素的和 S [ i ]。

当我们要求的是序列 A 的前 n 个数之和时，如果我们是从下标为 0 的位置开始存储前缀和数组，此公式：sum = S[ r ] – S[ l – 1 ] 显然就无法使用了，为了是这个公式适用于所有情况，我们将从下标为 1 的位置开始存储前缀和，并且将下标为 0 的位置初始化为 0。

三、一维前缀和OJ题

3.1、前缀和

【模板】前缀和_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

题目描述：

算法思路：

a.
先预处理出来⼀个「前缀和」数组： ⽤ dp[i]
表⽰：
[1, i]
区间内所有元素的和，那么
dp[i – 1]
⾥⾯存的就是
[1, i – 1] 区间内所有元素的和，那么：可得递推公式：
dp[i] = dp[i – 1] + arr[i] ；

b.
使⽤前缀和数组，「快速」求出「某⼀个区间内」所有元素的和： 当询问的区间是 [l, r]
时：区间内所有元素的和为：
dp[r] – dp[l – 1]
。

代码实现：

#include 
#include
using namespace std;

int main() 
{
    int n,q;
    cin>>n>>q;
    vector arr(n+1,0);
    for(int i=1;i>arr[i];
    vector dp(n+1,0);
    for(int i=1;i>l>>r;
        cout<<dp[r]-dp[l-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

3.2、寻找数组中心下标

724. 寻找数组的中心下标 – 力扣（LeetCode）

题目描述：

算法思路：

从中⼼下标的定义可知，除中⼼下标的元素外，该元素左边的「前缀和」等于该元素右边的「后缀 和」。

▪
因此，我们可以先预处理出来两个数组，⼀个表⽰前缀和，另⼀个表⽰后缀和。

▪
然后，我们可以⽤⼀个
for
循环枚举可能的中⼼下标，判断每⼀个位置的「前缀和」以及「后缀和」，如果⼆者相等，就返回当前下标。

代码实现：

class Solution {
public:
    int pivotIndex(vector& nums) 
    {
        int n=nums.size();
        vector f(n),g(n);
        //前缀和
        for(int i=1;i=0;i--)
            g[i]=nums[i+1]+g[i+1];

        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(g[i]==f[i])
                return i;
        }
        return -1;
    }
};

3.3、除自身以外数组的乘积

238. 除自身以外数组的乘积 – 力扣（LeetCode）

题目描述：

算法思路：

注意题⽬的要求，不能使⽤除法，并且要在
O(N)
的时间复杂度内完成该题。那么我们就不能使

⽤暴⼒的解法，以及求出整个数组的乘积，然后除以单个元素的⽅法。 继续分析，根据题意，对于每⼀个位置的最终结果 ret[i]
，它是由两部分组成的：

i.
nums[0] * nums[1] * nums[2] * … * nums[i – 1]

ii.
nums[i + 1] * nums[i + 2] * … * nums[n – 1]

于是，我们可以利⽤前缀和的思想，使⽤两个数组 post 和 suf，分别处理出来两个信息：

i.
post 表⽰：i 位置之前的所有元素，即
[0, i – 1]
区间内所有元素的前缀乘积，

ii.
suf 表⽰： i 位置之后的所有元素，即
[i + 1, n – 1]
区间内所有元素的后缀乘积，然后再处理最终结果。

代码实现：

class Solution {
public:
    vector productExceptSelf(vector& nums) 
    {
        int n=nums.size();
        vector g(n),f(n);
        //前缀积
        f[0]=g[n-1]=1;
        for(int i=1;i=0;i--)
            g[i]=g[i+1]*nums[i+1];

        vector arr(n);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            arr[i]=g[i]*f[i];
        }
        return arr;
    }
};

3.4、和为K的数组

560. 和为 K 的子数组 – 力扣（LeetCode）

题目描述：

算法思路：

设
i
为数组中的任意位置，⽤
sum[i]
表⽰
[0, i]
区间内所有元素的和。

想知道有多少个「以
i
为结尾的和为
k
的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为
x1, x2, x3… 使得
[x, i]
区间内的所有元素的和为
k
。那么
[0, x]
区间内的和是不是就是 sum[i] – k 了。于是问题就变成：

◦
找到在
[0, i – 1]
区间内，有多少前缀和等于
sum[i] – k
的即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在
i
位置之前，有多少个前缀和等于 sum[i] – k 。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种 前缀和出现的次数。

代码实现：

class Solution {
public:
    int subarraySum(vector& nums, int k) 
    {
        unordered_map hash;
        int sum=0,ret=0;
        hash[0]=1;
        for(auto x:nums)
        {
            sum+=x;
            if(hash.count(sum-k))
            {
                ret+=hash[sum-k];
            }
            hash[sum]++;
        }
        return ret;
    }
};

3.5、和可被K整除的子数组

974. 和可被 K 整除的子数组 – 力扣（LeetCode）

题目描述：

算法思路:

•
同余定理

如果
(a – b) % n == 0
，那么我们可以得到⼀个结论：
a % n == b % n
。⽤⽂字叙述就是，如果两个数相减的差能被 n 整除，那么这两个数对 n 取模的结果相同。

例如：
(26 – 2) % 12 == 0
，那么
26 % 12 == 2 % 12 == 2
。

•
c++
中负数取模的结果，以及如何修正「负数取模」的结果

a.
c++
中关于负数的取模运算，结果是「把负数当成正数，取模之后的结果加上⼀个负号」。

例如：
-1 % 3 = -(1 % 3) = -1

b.
因为有负数，为了防⽌发⽣「出现负数」的结果，以
(a % n + n) % n
的形式输出保证为正。

例如：
-1 % 3 = (-1 % 3 + 3) % 3 = 2

设
i
为数组中的任意位置，⽤
sum[i]
表⽰
[0, i]
区间内所有元素的和。

•
想知道有多少个「以
i
为结尾的可被
k
整除的⼦数组」，就要找到有多少个起始位置为
x1,x2, x3… 使得
[x, i]
区间内的所有元素的和可被
k
整除。

•
设
[0, x – 1]
区间内所有元素之和等于
a
，
[0, i]
区间内所有元素的和等于
b
，可得 (b – a)%k ==0 

•
由同余定理可得，
[0, x – 1]
区间与
[0, i]
区间内的前缀和同余。于是问题就变成：

◦
找到在
[0, i – 1]
区间内，有多少前缀和的余数等于
sum[i] % k
的即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在
i
位置之前，有多少个前缀和等于

sum[i] – k
。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边存下之前每⼀种前缀和出现的次数。

代码实现：

class Solution {
public:
    int subarraysDivByK(vector& nums, int k) 
    {
        unordered_map hash;  //第一个int存余数，第二个存个数
        int sum=0,ret=0;
        hash[0%k]=1; 
        for(auto x:nums)
        {
            sum+=x;
            int r=(sum%k+k)%k;
            if(hash.count(r)) ret+=hash[r];
            hash[r]++;
        }
        return ret;
    }
};

3.6、连续数组

525. 连续数组 – 力扣（LeetCode）

题目描述：

算法思路：

稍微转化⼀下题⽬，就会变成我们熟悉的题：

•
本题让我们找出⼀段连续的区间，
0
和
1
出现的次数相同。

•
如果将
0
记为
-1
，
1
记为
1
，问题就变成了找出⼀段区间，这段区间的和等于
0
。

•
于是，就和
和为 K 的⼦数组
这道题的思路⼀样

设
i
为数组中的任意位置，⽤
sum[i]
表⽰
[0, i]
区间内所有元素的和。

想知道最⼤的「以
i
为结尾的和为
0
的⼦数组」，就要找到从左往右第⼀个
x1
使得
[x1, i]

区间内的所有元素的和为
0
。那么
[0, x1 – 1]
区间内的和是不是就是
sum[i]
了。于是问题就变成：

•
找到在
[0, i – 1]
区间内，第⼀次出现
sum[i]
的位置即可。

我们不⽤真的初始化⼀个前缀和数组，因为我们只关⼼在
i
位置之前，第⼀个前缀和等于
sum[i]的位置。因此，我们仅需⽤⼀个哈希表，⼀边求当前位置的前缀和，⼀边记录第⼀次出现该前缀和的位置。

代码实现：

class Solution {
public:
    int findMaxLength(vector& nums) 
    {
        unordered_map hash;
        hash[0]=-1;
        int sum=0,ret=0;
        for(int i=0;i<nums.size();i++)
        {
            sum+=nums[i]==0?-1:1;//当前位置的前缀和,将0变-1
            if(hash.count(sum)) ret=max(ret,i-hash[sum]);
            else hash[sum]=i;
        }
        return ret;
    }
};

四、二位前缀和

和一维前缀和的原理类似，只不过二维前缀和求的是一个矩阵中所有元素的和。

例如：对与 x = 4，y = 3 这么一组输入，就是将原矩阵序列中蓝色区域的元素相加，得到的结果便是前缀和矩阵S中 S[ 4 ][ 3 ] 的值。

例如上图：我们要求蓝色矩阵中所有元素的和。

 现在就差最后一步了，怎么求出前缀和矩阵中的每一个值嘞？？同理利用递推关系求就阔以啦。

  S[ i ][ j ] = S[ i – 1 ][ j ] + S[ i ][ j – 1 ] – S[ i – 1][ j – 1 ] + a[ i ][ j ]

五、二维前缀和OJ题

4.1、二维前缀和

【模板】二维前缀和_牛客题霸_牛客网 (nowcoder.com)

题目描述：

算法思路：

• 首先对矩阵进行预处理，得到对应的前缀和矩阵。
• 利用前缀和矩阵相应区域的加减运算，即可得到对应子矩阵中所有元素的累加和。

图解展示（图中presum[3][4]除了包括绿色部分，还包括其它重叠的部分，其它几项也一样，另外presum[1][1]被多减了一次，所以最后要加一次）：

代码实现：

#include 
#include
using namespace std;

int main() 
{
    int n,m,q;
    cin>>n>>m>>q;
    vector<vector> arr(n+1,vector(m+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j>arr[i][j];
        }
    }

    vector<vector> dp(n+1,vector(m+1));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j>x1>>y1>>x2>>y2;
        cout<<dp[x2][y2]-dp[x1-1][y2]-dp[x2][y1-1]+dp[x1-1][y1-1]<<endl;
    }
    return 0;
}

4.2、矩阵区域和

1314. 矩阵区域和 – 力扣（LeetCode）

题目描述

算法思路：

⼆维前缀和的简单应⽤题，关键就是我们在填写结果矩阵的时候，要找到原矩阵对应区域的「左上

⻆」以及「右下⻆」的坐标

左上⻆坐标：
x1 = i – k
，
y1 = j – k
，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对
0取⼀个 max
。因此修正后的坐标为：
x1 = max(0, i – k), y1 = max(0, j – k)
;

右下⻆坐标：
x1 = i + k
，
y1 = j + k
，但是由于会「超过矩阵」的范围，因此需要对
m – 1 ，以及
n – 1
取⼀个
min
。因此修正后的坐标为：
x2 = min(m – 1, i + k),

y2 = min(n – 1, j + k) 。
然后将求出来的坐标代⼊到「⼆维前缀和矩阵」的计算公式上即可

代码实现：

class Solution {
public:
    vector<vector> matrixBlockSum(vector<vector>& mat, int k)    
    {
        int m=mat.size(),n=mat[0].size();
        vector<vector> dp(m+1,vector(n+1));

        //预处理矩阵
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
               dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] - dp[i - 1][j - 1] + mat[i - 1][j - 1];
            }
        }
        //使用前缀和矩阵
        vector<vector> ret(m,vector(n));
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            for(int j=0;j<n;j++)
            {
                int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1;
                int x2 = min(m - 1, i + k) + 1, y2 = min(n - 1, j + k) + 1;
                ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1 - 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
            }
        }
        return ret;
    }
};