【Matlab算法】梯度下降法（Gradient Descent）（附MATLAB完整代码）

梯度下降法优化问题

前言
- 梯度下降法
正文
代码实现
- 伪代码
- 可运行代码
- 结果

前言

梯度下降法

梯度下降法是一种用于最小化函数的迭代优化算法。其基本思想是通过计算函数的梯度 (导数)，找到函数的最小值点。在梯度下降法中，参数（或变量）沿着负梯度的方向进行更新，以降低函数值。

以下是梯度下降法的基本描述：

选择初始点: 选择一个初始点作为优化的起始点。
计算梯度: 在当前点计算函数的梯度（导数）。梯度是一个向量，包含每个变量的偏导数。
更新参数：沿着负梯度的方向调整参数。这个调整的步长由一个称为学习率的正数控制，学习率决定了每次更新参数的大小。

参数

(

t

+

1

)

=

^{(t+1)}=

(t+1)= 参数

(

t

)

−

η

⋅

∇

f

(

^{(t)}-\eta \cdot \nabla f\left(\right.

(t)−η⋅∇f( 参数

(

t

)

)

\left.^{(t)}\right)

(t))

其中

η

\eta

η 是学习率，

∇

f

(

\nabla f\left(\right.

∇f( 参数

(

t

)

)

\left.^{(t)}\right)

(t)) 是函数在当前参数点的梯度。
迭代: 重复步骤2和步骤3，直到满足停止条件，如达到预定的迭代次数或梯度足够小。

梯度下降法的成功取决于选择合适的学习率、初始点以及停止条件。不同的变种包括随机梯度下降 (SGD) 和批量梯度下降 (BGD)，它们在计算梯度时使用不同的数据集。 SGD使用随机样本，而BGD使用整个数据集。这些变种在不同问题和数据集上表现出不同的性能。

正文

对于给出的函数

(

)

f(x)

f(x) :

(

)

(

)

(

)

−

⋅

(

)

⋅

(

)

sin

⁡

(

)

cos

⁡

(

)

f(x)=x(1)^2+x(2)^2-2 \cdot x(1) \cdot x(2)+\sin (x(1))+\cos (x(2))

f(x)=x(1)2+x(2)2−2⋅x(1)⋅x(2)+sin(x(1))+cos(x(2))

计算其梯度，然后使用梯度下降法进行优化。梯度是一个向量，包含每个变量对应的偏导数。对于这个函数，梯度

∇

(

)

\nabla f(x)

∇f(x) 可以通过对每个变量求偏导数得到。

∂

(

)

⋅

(

)

−

⋅

(

)

cos

⁡

(

)

∂

(

)

⋅

(

)

−

⋅

(

)

−

sin

⁡

(

)

\begin{aligned} & \frac{\partial f}{\partial x(1)}=2 \cdot x(1)-2 \cdot x(2)+\cos (x(1)) \\ & \frac{\partial f}{\partial x(2)}=2 \cdot x(2)-2 \cdot x(1)-\sin (x(2)) \end{aligned}

∂x(1)∂f=2⋅x(1)−2⋅x(2)+cos(x(1))∂x(2)∂f=2⋅x(2)−2⋅x(1)−sin(x(2))

然后，梯度下降法的更新规则为：

(

)

(

)

−

⋅

∇

(

)

x(t+1)=x(t)-\eta \cdot \nabla f(x(t))

x(t+1)=x(t)−η⋅∇f(x(t))

其中

\eta

η 是学习率，是一个控制每次参数更新步长的正数。选择一个合适的学习率，并从初始点

(

)

x(0)

x(0) 开始迭代进行优化。

这是一个简单的梯度下降法的框架，可以根据具体情况调整参数和终止条件。梯度下降法有不同的变种，例如随机梯度下降 (SGD) 和批量梯度下降 (BGD)，具体的选择取决于问题的性质和数据集的大小。

代码实现

伪代码

% 定义目标函数
f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 - 2*x(1)*x(2) + sin(x(1)) + cos(x(2));

% 定义目标函数的梯度
grad_f = @(x) [2*x(1) - 2*x(2) + cos(x(1)); 2*x(2) - 2*x(1) - sin(x(2))];

% 设置参数
学习率 = 0.01;
最大迭代次数 = 1000;
容许误差 = 1e-6;

% 初始化起始点
x = [0; 0];

% 梯度下降
for 迭代次数 = 1:最大迭代次数
    % 计算梯度
    梯度 = grad_f(x);
    
    % 更新参数
    x = x - 学习率 * 梯度;
    
    % 检查收敛性
    if norm(梯度) < 容许误差
        break;
    end
end

% 显示结果
fprintf('最优解: x = [%f, %f]\n', x(1), x(2));
fprintf('f(x)的最优值: %f\n', f(x));
fprintf('迭代次数: %d\n', 迭代次数);

可运行代码

% 定义目标函数
f = @(x) x(1)^2 + x(2)^2 - 2*x(1)*x(2) + sin(x(1)) + cos(x(2));

% 定义目标函数的梯度
grad_f = @(x) [2*x(1) - 2*x(2) + cos(x(1)); 2*x(2) - 2*x(1) - sin(x(2))];

% 设置参数
learning_rate = 0.01;
max_iterations = 1000;
tolerance = 1e-6;

% 初始化起始点
x = [0; 0];

% 梯度下降
for iteration = 1:max_iterations
    % 计算梯度
    gradient = grad_f(x);
    
    % 更新参数
    x = x - learning_rate * gradient;
    
    % 检查收敛性
    if norm(gradient) < tolerance
        break;
    end
end

% 显示结果
fprintf('Optimal solution: x = [%f, %f]\n', x(1), x(2));
fprintf('Optimal value of f(x): %f\n', f(x));
fprintf('Number of iterations: %d\n', iteration);