Cauchy distribution

0、背景

柯西分布，也称为柯西-洛伦兹分布或洛伦兹分布，是描述共振行为的连续分布。它还描述了以随机角度倾斜的线段切割 x 轴的水平距离分布。如图：我们从原点引出射线，相邻射线角度相等，这些射线与平行于x轴的直线S有交点，这些交点在S线上的密度是不同的，显然，在90°的附近密度最大。

Cauchy distribution

1、公式推导

Cauchy distribution

根据上图，可以得出以下公式推导：

$\large \tan \Theta=\frac{x}{b}$

$\large \Theta=\arctan \frac{x}{b}$

$\large d \Theta=\frac{1}{1+\frac{x^{2}}{b^{2}}} \frac{d x}{b}=\frac{b d x}{b^{2}+x^{2}}$

$\large \frac{d \theta}{\pi}=\frac{1}{\pi} \frac{b d x}{b^{2}+x^{2}}$

对上式分别左右两端进行积分可得：

$\large \int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{d \theta}{\pi}=1$

$\large \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\pi} \frac{b d x}{b^{2}+x^{2}} &=\frac{1}{\pi}\left[\tan ^{-1}\left(\frac{x}{b}\right)\right]_{-\infty}^{\infty} \\ &=\frac{1}{\pi}\left[\frac{1}{2} \pi-\left(-\frac{1}{2} \pi\right)\right] \\ &=\mathrm{1} \end{aligned}$

可以看出从左边 $\Theta \in \left [ -\frac{\pi }{2} ,\frac{\pi }{2}\right ]$ 到右边 $x\in \left [ -\infty,\infty \right ]$ ，虽然自变量的范围发生了改变，但是左右两边等式的值并没发生变化，都是等于1。由此推出了今天的主角，柯西分布。

柯西分布的概率密度函数为：

$\large P(x)=\frac{1}{\pi} \frac{b}{(x-m)^{2}+b^{2}}$

P(x)在x=m时候达到最大值。 m是定义峰值位置的位置参数，b是尺度参数。

柯西分布的累计分布函数为：

$\large \begin{aligned}D(x)= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{\pi} \frac{b d x}{b^{2}+(x-m)^{2}} &=\frac{1}{\pi }\left [ arctan(\frac{x-m}{b}) \right ]_{-\infty }^{x}\\ &=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} \arctan\left(\frac{x-m}{b}\right) \\ \end{aligned}$

D(x)最大值为1，对应的x为正无穷。如果m=0，b=1，那么就得到了标准柯西分布。

标准柯西分布的概率密度函数为：

$\large P(x)=\frac{1}{\pi} \times \frac{1}{x^{2}+1}$

标准柯西分布的累计分布函数为：

$\large D(x)=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi} arctan\left(x\right)$

2、公式的代码实现

function y = Cauchy_PDF(x,m,b)
y = (1/pi) * (b ./ ((x - m).^2 + b.^2));
end

标准柯西分布P(x)画出对应的直角坐标系图：

Cauchy distribution

function y = Cauchy_CDF(x,m,b)
y = 0.5 + (1 / pi) .* atan((x - m)./b);
end

标准柯西分布D(x)画出对应的直角坐标系图：

Cauchy distribution

现在画出标准正态分布的概率密度函数和累计分布函数：

Cauchy distribution

发现：柯西分布的取值范围非常广，很大的值也有一定概率取到。相比较而言高斯分布在[-3,3]之外取值的可能性非常之低。

3、获取柯西分布随机数

生成柯西随机数的步骤：

计算得到Cauchy分布累计分布函数(CDF)的反函数；
使用rand()函数生成(0,1)区间上均匀分布的初始随机数u；
将初始随机数代入CDF的反函数即可得到我们需要的Cauchy随机数：

Cauchy分布累计分布函数(CDF)的反函数：

$\large x=m-\frac{b}{\tan (\pi u)}$

function y = Cauchy_rand(m,b)
u = rand();
y = m - (b ./ tan(pi .* u));
end

3.1 利用MATLAB自带工具箱

柯西分布是自由度为 $\nu =1$ 的 t Location-Scale Distribution。t Location-Scale Distribution的概率密度函数为：

$\large \frac{\Gamma\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sigma \sqrt{\nu \pi} \Gamma\left(\frac{\nu}{2}\right)}\left[\frac{\nu+\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^{2}}{\nu}\right]^{-\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}$

当 $\large \nu$ 等于1时，t Location-Scale Distribution就变为柯西分布了。当 $\large \sigma =1$ ， $\large \mu = 0$ 时，t Location-Scale Distribution就变为标准柯西分布了。

clc;clearvars;clear;
% 转化为标准柯西分布
pd = makedist('tLocationScale','mu',0,'sigma',1,'nu',1);
% 画出标准柯西分布
x = -20:1:20;
y = pdf(pd,x);
plot(x,y,'LineWidth',2)
r1 = random(pd,10,1);%生成10个柯西随机数
r2 = random(pd,5,5);%生成一个柯西随机生成矩阵
disp(r1);
disp(r2);

Cauchy distribution