完全解读低通滤波，并且用其C语言实现

1、什么是低通滤波

低通滤波是一种信号处理技术，它可以用于去除高频信号成分，只保留低频信号成分。低通滤波器的本质是一个线性时不变系统，它可以通过差分方程或者频域响应的形式来描述。

在差分方程的形式下，低通滤波器可以表示为：

y

[

n

]

=

b

0

x

[

n

]

+

b

1

x

[

n

−

1

]

+

b

2

x

[

n

−

2

]

−

a

1

y

[

n

−

1

]

−

a

2

y

[

n

−

2

]

y[n] = b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + b_2 x[n-2] – a_1 y[n-1] – a_2 y[n-2]

y[n]=b0​x[n]+b1​x[n−1]+b2​x[n−2]−a1​y[n−1]−a2​y[n−2]

其中，

x

[

n

]

x[n]

x[n]是输入信号，

y

[

n

]

y[n]

y[n]是输出信号，

b

0

,

b

1

,

b

2

b_0, b_1, b_2

b0​,b1​,b2​是前向系数，

a

1

,

a

2

a_1, a_2

a1​,a2​是反馈系数。这个差分方程表示了一个一阶或二阶低通滤波器，它可以对输入信号进行滤波，输出信号是输入信号的低频成分。

在频域响应的形式下，低通滤波器可以表示为：

H

(

f

)

=

1

1

+

j

f

f

c

H(f) = \frac{1}{1+j\frac{f}{f_c}}

H(f)=1+jfc​f​1​

其中，

f

f

f是频率，

f

c

f_c

fc​是截止频率。这个频域响应表示了一个一阶低通滤波器的幅度响应，它可以对输入信号进行滤波，输出信号是输入信号的低频成分。

低通滤波器的实现方式有很多种，包括RC滤波器、Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器等。它们的特点和应用场景不同，需要根据具体的需求来选择合适的滤波器。

2、RC低通滤波

RC低通滤波器是一种简单的低通滤波器，它由一个电阻和一个电容组成。它的原理是通过电容器的充放电过程来实现低通滤波。

在RC低通滤波器中，输入信号通过电阻接到电容的一端，电容的另一端接地。当输入信号发生变化时，电容器开始充放电，电容器的电压随着时间的变化而变化。由于电容器对高频信号的响应较弱，所以高频信号会被滤除，只有低频信号能够通过电容器，输出信号就是输入信号的低频成分。

RC低通滤波器的截止频率可以通过下面的公式计算：

f

c

=

1

2

π

R

C

f_c = \frac{1}{2\pi RC}

fc​=2πRC1​

其中，

f

c

f_c

fc​是截止频率，

R

R

R是电阻的阻值，

C

C

C是电容的电容值。当频率等于截止频率时，电容器的阻抗等于电阻的阻值，此时输入信号的功率被分成一半，输出信号的功率也被分成一半，即20dB的衰减。

RC低通滤波器的特点是简单、易于实现，但是截止频率的变化范围较小，只能用于处理低频信号。此外，它的输出信号存在相位延迟，会对信号的时间性能产生影响。

3、转化为差分方程

RC滤波器的输入输出关系可以表示为：

V

o

u

t

(

t

)

=

1

R

C

∫

0

t

V

i

n

(

τ

)

d

τ

V_{out}(t) = \frac{1}{RC}\int_{0}^{t} V_{in}(\tau) d\tau

Vout​(t)=RC1​∫0t​Vin​(τ)dτ

为了将其转化为差分方程的形式，我们可以将积分符号替换为差分符号，即：

V

o

u

t

[

n

]

=

1

R

C

∑

k

=

0

n

V

i

n

[

k

]

Δ

t

V_{out}[n] = \frac{1}{RC}\sum_{k=0}^{n} V_{in}[k] \Delta t

Vout​[n]=RC1​k=0∑n​Vin​[k]Δt

其中，

V

i

n

[

k

]

V_{in}[k]

Vin​[k]是输入信号在时刻

k

k

k的取值，

Δ

t

\Delta t

Δt是采样时间间隔。将上式进行变形，得到：

R

C

V

o

u

t

[

n

]

=

V

i

n

[

n

]

Δ

t

+

V

o

u

t

[

n

−

1

]

RCV_{out}[n] = V_{in}[n]\Delta t + V_{out}[n-1]

RCVout​[n]=Vin​[n]Δt+Vout​[n−1]

这就是RC滤波器的差分方程形式。其中，

R

C

RC

RC是滤波器的时间常数，它等于电阻

R

R

R和电容

C

C

C的乘积。差分方程表示了一个一阶低通滤波器，可以用于去除输入信号的高频成分，保留低频成分，输出信号是输入信号的低通滤波结果。

4、C语言实现

C语言代码实现低通滤波器：

#include 
#include 
#include 

#define PI 3.14159265358979323846

double filter(double input, double prev_output, double prev_input, double cutoff_freq, double sample_rate) {
    double RC = 1.0 / (2.0 * PI * cutoff_freq);
    double alpha = 1.0 / (1.0 + RC * sample_rate);
    double output = alpha * (input + prev_input) + (1 - alpha) * prev_output;
    return output;
}

int main() {
    double input_signal[] = {1.0, 2.0, 3.0, 4.0, 5.0, 6.0, 7.0, 8.0, 9.0, 10.0};
    double output_signal[10];
    double prev_output = 0.0;
    double prev_input = 0.0;
    double cutoff_freq = 1000.0; // 1 kHz
    double sample_rate = 44100.0; // 44.1 kHz
    int i;

    for (i = 0; i < 10; i++) {
        output_signal[i] = filter(input_signal[i], prev_output, prev_input, cutoff_freq, sample_rate);
        prev_output = output_signal[i];
        prev_input = input_signal[i];
    }

    for (i = 0; i < 10; i++) {
        printf("%f\n", output_signal[i]);
    }

    return 0;
}

这个代码实现了一个一阶低通滤波器，使用差分方程的形式实现。

其中，input是当前输入信号，prev_output是上一个输出信号，prev_input是上一个输入信号，cutoff_freq是截止频率，sample_rate是采样率。

这个滤波器对于输入信号进行滤波，输出信号作为下一个输入信号的prev_input，输出信号作为下一个输出信号的prev_output。最后，输出滤波后的信号序列。

低通滤波器在很多应用中都有广泛的应用，如音频处理、图像处理、通信系统等。在音频处理中，低通滤波器可以用来去除噪声和杂音，使音频更加清晰；在通信系统中，低通滤波器可以用来滤除高频噪声和干扰，使信号更容易被接收和解码。

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