MATLAB 之 绘制三维图形的基本函数、三维曲面和其他三维图形
文章目录
- 一、绘制三维曲线的基本函数
- 二、三维曲面
-
- 1. 平面网格坐标矩阵的生成
- 2. 绘制三维曲面的函数
- 3. 标准三维曲面
- 三、其他三维图形
-
- 1. 三维条形图
- 2. 三维饼图
- 3. 三维实心图
- 4. 三维散点图
- 5. 三维杆图
- 6. 三维箭头图
- 三维图形具有更强的数据表现能力，为此 MATLAB 提供了丰富的函数来绘制三维图形。绘制三维图形与绘制二维图形的方法十分类似，很多都是在二维绘图的基础上扩展而来。
一、绘制三维曲线的基本函数
- 基本的三维图形函数为 plot3，它是将二维绘图函数 plot 的有关功能扩展到三维空间，用来绘制三维曲线。
- plot3 函数与 plot 函数用法十分相似，其调用格式如下：
plot3(x1,y1,z1,选项1,x2,y2,z2,选项2,…,xn,yn,zn,选项n)
- 其中，每一组
x
、
y
、
z
x、y、z
x、y、z 组成一组曲线的坐标参数，选项的定义和 plot 函数相同（线型、颜色和标记符号等参数，详见 MATLAB 之 二维图形绘制的基本函数和辅助操作）。
- 当
x
、
y
、
z
x、y、z
x、y、z 是同长度的向量时，则
x
、
y
、
z
x、y、z
x、y、z 对应元素构成一条三维曲线。
- 当
x
、
y
、
z
x、y、z
x、y、z 是同型矩阵时，则以
x
、
y
、
z
x、y、z
x、y、z 对应列元素绘制三维曲线，曲线条数等于矩阵列数。
- 例如，我们绘制空间曲线：
{
x
2
+
y
2
+
z
2
=
64
y
+
z
=
0
\left\{\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+z^{2}=64 \\y+z=0 \end{matrix}\right.
{x2+y2+z2=64y+z=0
- 曲线对应的参数方程为
{
x
=
8
cos
t
y
=
4
2
sin
t
z
=
−
4
2
sin
t
,
0
≤
t
≤
2
π
\left\{\begin{matrix}x=8\cos t \\y=4\sqrt{2} \sin t \\z=-4\sqrt{2} \sin t \end{matrix}\right.\begin{matrix},0\le t\le 2\pi \end{matrix}
⎩
⎨
⎧x=8costy=42
sintz=−42
sint,0≤t≤2π - 程序如下：
t=0:pi/50:2*pi;x=8*cos(t);y=4*sqrt(2)*sin(t);z=-4*sqrt(2)*sin(t);plot3(x,y,z,'p');title('Line in 3-D Space');text(0,0,0,'origin');axis ([-10,10,-10,10,-6,6]);xlabel('X');ylabel('Y');zlabel('Z');grid;- 程序运行结果如下图所示。
二、三维曲面
1. 平面网格坐标矩阵的生成
- 绘制
z
=
f
(
x
,
y
)
z=f(x,y)
z=f(x,y) 所代表的三维曲面图，先要在
x
y
xy
xy 平面选定一矩阵区域，假定矩形区域
D
=
[
a
,
b
]
×
[
c
,
d
]
D=[a,b]×[c,d]
D=[a,b]×[c,d]，然后将
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 在
x
x
x 方向分成
m
m
m 份，将
[
c
,
d
]
[c,d]
[c,d] 在
y
y
y 方向分成
n
n
n 份。
- 由各划分点分别作平行于两坐标轴的直线，将区域
D
D
D 分成
m
×
n
m×n
m×n 个小矩形，生成代表每一个小矩形顶点坐标的平面网格坐标矩阵，最后利用有关函数进行绘图即可。
- 产生平面区域内的网格坐标矩阵有以下两种方法。
- （1） 利用矩阵运算生成。
x=a:dx:b;y=(c:dy:d)';X=ones(size(y))*x;Y=y*ones(size(x));
- 在上述程序段中，矩阵
X
的
X的
X的 每一行都是向量
x
x
x， 行数等于向量
y
y
y 的元素的个数，矩阵
Y
Y
Y 的每一列都是向量
y
y
y，列数等于向量
x
x
x 的元素的个数。
- 于是
X
X
X 和
Y
Y
Y相同位置上的元素
(
X
(
i
,
j
)
，
Y
(
i
,
j
)
(X(i, j)，Y(i, j)
(X(i,j)，Y(i,j) 恰好是区域
D
D
D 的
(
i
,
j
)
(i, j)
(i,j) 网格点的坐标。若根据每一个网格点上的
x
、
y
x、y
x、y坐标求函数值
z
z
z，则得到函数值矩阵
Z
Z
Z。
- 显然，
X
、
Y
、
Z
X、Y、Z
X、Y、Z 各列或各行所对应坐标，对应于一条空间曲线，空间曲线的集合组成空间曲面。
- （2） 利用 meshgrid 函数生成。
x=a:dx:b;y=c:dy:d;[X,Y]=meshgrid(x,y);
- 程序段运行后，所得到的网格坐标矩阵
X
、
Y
X、Y
X、Y与方法（1）得到的相同。当
x
=
y
x=y
x=y 时，meshgrid 函数可写成 meshgrid(x)。
- 为了说明网格坐标矩阵的用法，下面举一个例子， 该例子巧妙地利用网格坐标矩阵来解不定方程。
- 例如，已知
6
<
x
<
30
，
15
<
y
<
36
6<x<30，15<y<36
6<x<30，15<y<36，我们求不定方程
2
x
+
5
y
=
126
2x+5y=126
2x+5y=126 的整数解。
- 程序如下：
x=7:29;y=16:35;[x,y]=meshgrid(x,y); %在[7,29]*[16,35]区域生成网格坐标z=2*x+5*y;k=find(z==126); %找出解的位置x(k)' %输出对应位置的x即方程的解y(k)' %输出对应位置的y即方程的解
- 程序运行结果如下：
ans = 8 13 18 23ans = 22 20 18 16
- 即方程总共有 4 组解：(8,22)、(13,20)、(18,18)、(23,16)。
2. 绘制三维曲面的函数
- MATLAB 提供了 mesh 函数和 surf 函数来绘制三维曲面图。mesh 函数用于绘制三维网格图。在不需要绘制特别精细的三维曲面图时，可以通过三维网格图来表示三维曲面。surf 函数用于绘制三维曲面图，各线条之间的补面用颜色填充。
- mesh 函数和 surf 函数的调用格式如下：
mesh(x,y,z,c)surf(x,y,z,c)
- 一般情况下，
x
、
y
、
z
x、y、z
x、y、z 是同型矩阵。
x
、
y
x、y
x、y 是网格坐标矩阵，
z
z
z 是网格点上的高度矩阵，
c
c
c 称为色标（color scale）矩阵，用于指定曲面的颜色。
- 在默认情况下，系统根据
c
c
c 中元素大小的比例关系，把色标数据变换成色图矩阵中对应的颜色。
- 当
c
c
c 省略时，MATLAB 认为
c
=
z
c=z
c=z，亦即颜色的设定正比于图形的高度，这样就可以得出层次分明的三维图形。
- 当
x
、
y
x、y
x、y 省略时，把
z
z
z 矩阵的列下标当作
x
x
x 轴坐标，把
z
z
z 矩阵的行下标当作
y
y
y 轴坐标，然后绘制三维曲面图。
- 当
x
、
y
x、y
x、y 是向量时，要求
x
x
x 的长度等于
z
z
z 矩阵的列数，
y
y
y 的长度等于
z
z
z 矩阵的行数，
x
、
y
x、y
x、y 向量元素的组合构成网格点的
x
、
y
x、y
x、y 坐标，
z
z
z 坐标则取自
z
z
z 矩阵，然后绘制三维曲面图。
- 例如，我们绘制三维曲面图
z
=
sin
y
cos
x
z=\sin y\cos x
z=sinycosx。
- 为便于分析各种三维曲面的特征，下面画出了 3 种不同形式的曲面。
- 程序 1 如下：
x=0:0.1:2*pi;[x,y]=meshgrid(x);z=sin(y).*cos(x);mesh(x,y,z);xlabel('x-axis');ylabel('y-axis');zlabel('z-axis');title('mesh');- 程序 1 运行结果如下图所示。
- 程序 2 如下：
x=0:0.1:2*pi;
[x,y]=meshgrid(x);
z=sin(y).*cos(x);
surf(x,y,z);
xlabel('x-axis');
ylabel('y-axis');
zlabel('z-axis');
title('surf');
- 程序 2 运行结果如下图所示。
- 程序 3 如下：
x=0:0.1:2*pi;
[x, y]=meshgrid(x);
z=sin(y).*cos(x);
plot3(x,y,z);
xlabel('x-axis');
ylabel('y-axis');
zlabel('z-axis');
title('plot3');
grid;
- 程序 3 运行结果如下图所示。
- 网格图（mesh）中线条有颜色，线条间补面无颜色。曲面图（surf）的线条是黑色，线条间补面有颜色。曲面图补面颜色和网格图线条颜色都是沿
z
z
z 轴变化的。用 plot3 绘制的三维曲面实际上由三维曲线组合而成。
- 例如，我们绘制两个相互垂直且直径相等相等的圆柱体的相交图形。
- 程序如下：
m=30;z=1.2*(0:m)/m; r=ones(size(z));theta=(0:m)/m*2*pi;x1=r'*cos(theta); %生成第一个圆柱体的坐标矩阵y1=r'*sin(theta);z1=z'*ones(1,m+1);x=(-m:2:m)/m;x2=x'*ones(1,m+1); %生成第二个圆柱体的坐标矩阵y2=r'*cos(theta);z2=r'*sin(theta);surf(x1,y1,z1); %绘制垂直的圆柱体axis equal;axis off;hold on;surf(x2,y2,z2); %绘制水平的圆柱体axis equal;axis off;title('两个圆柱体的相交图形');hold off;- 程序运行结果如下图所示。
- 例如，我们分析
z
=
x
2
−
2
y
2
z=x^{2} -2y^{2}
z=x2−2y2 构成的曲面形状及与平面
z
=
a
z=a
z=a 的交线。
- 程序如下：
[x,y]=meshgrid(-10:0.2:10);z1=(x.^2-2*y.^2)+eps; %第一个曲面坐标a=input('a= ');z2=a*ones(size(x)); %第二个曲面坐标subplot(1,2,1);mesh(x,y,z1);hold on;mesh(x,y,z2); %分别画出两个曲面v=[-10,10,-10,10,-100,100]; %第一子图的坐标设置axis(v);grid;hold off;r0=abs(z1-z2)<=1; %求两曲面z坐标差小于1的点xx=r0.*x;yy=r0.*y;zz=r0.*z2; %求这些点上的x、y、z坐标，即交线坐标subplot(1,2,2);plot3(xx(r0~=0),yy(r0~=0),zz(r0~=0),'*'); %在第二子图画出交线axis(v); %第二子图的坐标设置grid;- 程序运行时，如果我们输入
a
=
−
25
a=-25
a=−25，所得三维曲面图和曲面的交线如下图所示。当我们输入的
a
a
a 不同时，曲面的交线就会发生变化。
- 此外，还有两个和 mesh 函数相似的函数，即带等高线的三维网格曲面函数 meshc 和带底座的三维网格曲面函数 meshz。其用法与 mesh 类似，不同的是 meshe 还在
x
y
xy
xy 平面上绘制曲面在
z
z
z 轴方向的等高线，meshz 还在
x
y
xy
xy 平面上绘制曲面的底座。
- 函数 surf 也有两个类似的函数，即具有等高线的曲面函数 surfc 和具有光照效果的曲面函数 surfl。
- 例如，在
x
y
xy
xy 平面内选择区域
[
−
8
,
8
]
×
[
−
8
,
8
]
[-8,8]×[-8,8]
[−8,8]×[−8,8] ，我们绘制函数
z
=
sin
x
2
+
y
2
x
2
+
y
2
z=\frac{\sin \sqrt{x^{2} +y^{2} } }{\sqrt{x^{2} +y^{2}}}
z=x2+y2
sinx2+y2
的 4 种三维曲面图（墨西哥帽子图形）。 - 程序如下：
[x,y]=meshgrid(-8:0.5:8);z=sin(sqrt(x.^2+y.^2))./sqrt(x.^2+y.^2+eps);subplot(2,2,1);meshc(x,y,z) ;title('meshc(x,y,z)');subplot(2,2,2);meshz(x,y,z);title('meshz(x,y,z)');subplot(2,2,3);surfc(x,y,z);title('surfc(x,y,z)');subplot(2,2,4);surfl(x,y,z);title('surfl(x,y,z)');- 程序运行结果如下图所示。
3. 标准三维曲面
- MATLAB 提供了一些的数用 于绘制标准三维曲面，还可以利用这些的数产生相应的绘图数据，常用于三维图形的演示。例如，sphere 函数和 cylinder 函数分别用于绘制三维球面和柱面。
- sphere 函数的调用格式如下：
[x,y,z]=sphere(n)
- 该函数将产生
(
n
+
1
)
×
(
n
+
1
)
(n+1)×(n+1)
(n+1)×(n+1) 矩阵
x
、
y
、
z
x、 y、z
x、y、z，采用这 3 个矩阵可以绘制出圆心位于原点、半径为 1 的单位球体。若在调用该函数时不带输出参数，则直接绘制所需球面。
n
n
n 决定了球面的圆滑程度，其默认值为 20。若
n
n
n 值取得较小，则将绘制出多面体表面图。
- cylinder 函数的调用格式如下：
[x,y,z]=cylinder(R,n)
- 其中，
R
R
R 是一个向量，存放柱面各个等间隔高度上的半径，
n
n
n 表示在圆柱圆周上有
n
n
n 个间隔点，默认有 20 个间隔点。例如：
>> cylinder(3)
- 将生成一个圆柱。又例如：
>> cylinder([10,0])
- 将生成一个圆锥，而执行下列命令：
>> t=0:pi/100:4*pi;>> R=sin(t);>> cylinder(R,30);
- 将生成一个正弦型柱面。另外，生成矩阵的大小与
R
R
R 向量的长度及
n
n
n 有关。其余用法与 sphere 函数相同。
- MATLAB 还有一个 peaks 函数，称为多峰函数，常用于三维曲面的演示。该函数可以用来生成绘图数据矩阵，矩阵元素由以下函数在矩形区域
[
−
3
,
3
]
×
[
−
3
,
3
]
[-3,3]×[-3,3]
[−3,3]×[−3,3] 的等分网格点上的函数值确定。
f
(
x
,
y
)
=
3
(
1
−
x
2
)
e
−
x
2
−
(
y
+
1
)
2
−
10
(
x
5
−
x
3
−
y
5
)
e
−
x
2
−
y
2
−
1
3
e
−
(
x
+
1
)
2
−
y
2
f(x,y)=3(1-x^{2})e^{-x^{2}-(y+1)^{2}}-10(\frac{x}{5}-x^{3}-y^{5})e^{-x^{2}-y^{2}}-\frac{1}{3}e^{-(x+1)^{2}-y^{2}}
f(x,y)=3(1−x2)e−x2−(y+1)2−10(5x−x3−y5)e−x2−y2−31e−(x+1)2−y2
- 例如：
z=peaks(30);
- 将生成一个
30
×
30
30×30
30×30 的矩阵
z
z
z，即分别沿
x
x
x 和
y
y
y 方向将区间
[
−
3
,
3
]
[-3,3]
[−3,3] 等分成 29 份，并计算这些网格点上的函数值。默认的等分数是 48，即 p=peaks 将生成一个
49
×
49
49×49
49×49 的矩阵
p
p
p。也可以根据网格坐标矩阵
x
、
y
x、y
x、y 重新计算函数矩阵。例如：
>> [x,y]=meshgrid(-5:0.1:5);>> z=peaks(x,y);
- 生成的数值矩阵可以作为 mesh、surf 等函数的参数而绘制出多峰函数曲面图。另外，若在调用 peaks 函数时不带输出参数，则直接绘制出多峰函数曲面图。
- 例如，我们绘制标准三维曲面图形。
- 程序如下：
t=0:pi/20:2*pi;[x,y,z]=cylinder(2+sin(t),30);subplot(1,3,1);surf(x,y,z); %生成一个正弦型柱面axis([-5,5,-5,5,0,1]);[x,y,z]=sphere;subplot(1,3,2);surf(x,y,z); %生成一个球面axis equal;[x,y,z]=peaks(30);subplot(1,3,3);meshz(x,y,z); %生成一个多峰曲面axis([-5,5,-5,5,-10,10]);
- 程序运行结果如下图所示。
三、其他三维图形
- 在介绍二维图形时，曾提到各种特殊图形，有些还可以以三维形式出现，使用的函数包括 bar3、bar3h、 pie3、 fill3、 scatter3、 stem3 和 quiver3。
1. 三维条形图
- bar3 函数绘制三维条形图，常用格式如下：
bar3 (y)
bar3(x,y)
- 在第一种格式中，
y
y
y 的每个元素对应于一个条形。第二种格式在
x
x
x 指定的位置上绘制
y
y
y 中元素的条形图。
- bar3h 的用法与 bar3 相同。
2. 三维饼图
- pie3 函数绘制三维饼图，常用格式如下：
pie3(x,explode)
- 其中
x
x
x 为向量，用
x
x
x 中的数据绘制一个三维饼图，explode 设置相应的扇形是否偏离整体图形。
3. 三维实心图
- fill3 函数可在三维饼图内绘制出填充过的多边形，常用格式如下：
fill3(x,y,z,c)
- 其中使用
x
、
y
、
z
x、y、z
x、y、z 作为多边形的顶点，而
c
c
c 指定了填充的颜色。
4. 三维散点图
- scatter3 函数可在三维空间内绘制散点图，常用格式如下：
scatter3(x,y,z,c)
- 其中
x
、
y
、
z
x、y、z
x、y、z 必须时等长度的向量，而
c
c
c 指定了填充的颜色。
5. 三维杆图
- stem3 函数绘制离散序列数据的三维杆图，常用格式如下：
stem3(z) stem3(x,y,z)
- 第一种将数据序列
z
z
z 表示为从
x
y
xy
xy 平面向上延申的杆图，
x
x
x 和
y
y
y 自动生成。第二种格式在
x
x
x 和
y
y
y 指定的位置上绘制数据序列
z
z
z 的杆图。
6. 三维箭头图
- quiver3 函数绘制三维空间的矢量图，常用格式如下：
quiver3(x,y,z,u,v,w)
- 其中
x
、
y
、
z
、
u
、
v
、
w
x、y、z、u、v、w
x、y、z、u、v、w 必须长度一样，绘制三维矢量图。矢量由
(
u
,
v
,
w
)
(u,v,w)
(u,v,w) 决定，所在位置由
(
x
,
y
,
z
)
(x,y,z)
(x,y,z) 决定。例如，quiver3(1,2,3,4,5,6) 是以 (1,2,3) 为起点绘制一个矢量，即一个由 (1,2,3) 指向 (4,5,6) 的箭头。
- 例如，我们绘制以下三维图形。
- （1） 绘制魔方阵的三维条形图。
- （2） 已知
x
=
[
2347
,
1827
,
2043
,
3025
]
x=[2347,1827,2043,3025]
x=[2347,1827,2043,3025]，绘制三维饼图。
- （3） 用随机的顶点坐标值画出 5 个黄色三角形。
- （4） 以三位杆图形式绘制曲线
y
=
sin
x
y=\sin x
y=sinx。
- 整体程序如下：
subplot(2,2,1);bar3(magic(4));title('（1）bar3');subplot(2,2,2);pie3([2347,1827,2043,3025]);title('（2）pie3');a=rand(3,5);b=rand(3,5);c=rand(3,5);subplot(2,2,3);fill3(a,b,c,'y');title('（3）fill3');y=2*sin(0:pi/10:2*pi);subplot(2,2,4);stem3(y);title('（4）stem3');- 整体程序运行结果如下图所示。
- 除了上面讨论的三维图形外，常用图形还有瀑布图、三维曲面的等高线图。
- 绘制瀑布图用 watrall 函数，它的用法及图形效果与 meshz 函数相似，只是它的网格线是在
x
x
x 轴方向出现，具有瀑布效果。等高线图分二维和三维两种形式，分别使用函数 contour 和 contour3 绘制。
- 例如，我们绘制多峰函数的瀑布图和等高线图。
- 程序如下：
subplot(1,2,1);[X,Y,Z]=peaks(30);waterfall(X,Y,Z)xlabel('X-axis');ylabel('Y-axis');zlabel('Z-axis');subplot(1,2,2);contour3(X,Y,Z,12,'k'); %其中12代表高度的等级数xlabel('X-axis');ylabel('Y-axis');zlabel('Z-axis');- 程序运行结果如下图所示。
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