线性代数让我想想：快速求三阶矩阵的逆矩阵

快速求三阶矩阵的逆矩阵

前言

一般情况下，我们求解伴随矩阵是要注意符号问题和位置问题的（如下所示）

A

−

1

=

1

[

  

]

[

−

[

  

]

−

[

  

]

−

[

  

]

  

−

[

  

]

]

=

A

−

1

=

1

[

  

]

[

   

M

11

−

[

M

12

]

   

M

13

−

[

M

21

]

   

M

22

−

[

M

23

]

  

   

M

31

−

[

M

32

]

   

M

33

]

⊤

\begin{aligned} & A^{-1}=\frac{1}{[\ \ ]} \left[\begin{array}{cccccc} & -[\ \ ] & \\ -[\ \ ] & & -[\ \ ]\ \ \\ & -[\ \ ] & \\ \end{array}\right]= \\ \\ & A^{-1}=\frac{1}{[\ \ ]} \left[\begin{array}{cccccc} \ \ \ M_{11} & -[M_{12}] & \ \ \ M_{13}\\ -[M_{21}] & \ \ \ M_{22} & -[M_{23}]\ \ \\ \ \ \ M_{31} & -[M_{32}] & \ \ \ M_{33}\\ \end{array}\right]^\top\\ \end{aligned}

​A−1=[  ]1​⎣⎡​−[  ]​−[  ]−[  ]​−[  ]  ​⎦⎤​=A−1=[  ]1​⎣⎡​   M11​−[M21​]   M31​​−[M12​]   M22​−[M32​]​   M13​−[M23​]     M33​​⎦⎤​⊤​

我们根据位置安排(行调换)的策略可以避免符号问题，将问题进行化简。

例题一

求矩阵

D

D

D 的逆矩阵

D

=

[

2

1

1

1

2

1

2

3

1

]

D=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{array}\right]

D=⎣⎡​212​123​111​⎦⎤​

我们把第一二列抄写到矩阵后面

D

1

=

[

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

2

3

1

2

3

]

D_1=\left[\begin{array}{lll|ll} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right]

D1​=⎣⎡​212​123​111​212​123​⎦⎤​

然后把第一二行抄写到矩阵下面（新矩阵

D

1

D_1

D1​ 的第一二行），

这样我们就得到了一个五阶矩阵：

D

2

=

[

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

2

3

1

2

3

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

]

=

[

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

2

3

1

2

3

2

1

1

2

1

1

2

1

1

2

]

D_2=\left[\begin{array}{lll|ll} 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 2 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \textcolor{cornflowerblue}{2} & \textcolor{cornflowerblue}{1} & \textcolor{cornflowerblue}{1} & \textcolor{cornflowerblue}{2} & \textcolor{cornflowerblue}{1} \\ \textcolor{cornflowerblue}{1} & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \textcolor{cornflowerblue}{2} & 3 & 1 & 2 & 3 \\ \textcolor{cornflowerblue}{2} & 1 & 1 & 2 & 1 \\ \textcolor{cornflowerblue}{1} & 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]

D2​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​21221​12312​11111​21221​12312​​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​21221​12312​11111​21221​12312​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

然后我们把第一行和第一列删除（新矩阵

D

2

D_2

D2​ 的第一行和第一列，将标蓝的元素删除）

D

3

=

[

2

1

1

2

3

1

2

3

1

1

2

1

2

1

1

2

]

D_3=\left[\begin{array}{lllll} 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ \end{array}\right]

D3​=⎣⎢⎢⎡​2312​1111​1221​2312​⎦⎥⎥⎤​

然后我们算出矩阵分块组成的九个二阶行列式：

然后我们将求出的九个行列式结果填充到伴随矩阵的框架里，记得加上转置符号

[

−

1

   

1

−

1

   

2

   

0

−

4

−

1

−

1

   

2

]

⊤

=

[

−

1

   

2

−

1

   

1

   

0

−

1

−

1

−

4

   

2

]

\left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 1 & -1 \\ \ \ \ 2 &\ \ \ 0 & -4 \\ -1 & -1 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]^\top= \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 1 &\ \ \ 0 & -1 \\ -1 & -4 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]

⎣⎡​−1   2−1​   1   0−1​−1−4   2​⎦⎤​⊤=⎣⎡​−1   1−1​   2   0−4​−1−1   2​⎦⎤​

这样我们就得到了伴随矩阵，然后计算矩阵对应的行列式

∣

D

∣

=

−

2

|D|=-2

∣D∣=−2，

最后根据公式

A

−

1

=

1

∣

A

∣

A

∗

A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*

A−1=∣A∣1​A∗，求出逆矩阵

D

−

1

D^{-1}

D−1

D

−

1

=

1

∣

D

∣

D

∗

=

   

1

−

2

[

−

1

   

2

−

1

   

1

   

0

−

1

−

1

−

4

   

2

]

=

[

   

1

2

−

1

   

1

2

−

1

2

   

0

   

1

2

   

1

2

   

2

−

1

]

D^{-1}=\frac{1}{|D|}D^*=\frac{\ \ \ 1}{-2} \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 1 &\ \ \ 0 & -1 \\ -1 & -4 &\ \ \ 2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \ \ \ \frac{1}{2} &-1 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} &\ \ \ 0 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ \ \ \ \frac{1}{2} &\ \ \ 2 & -1 \\ \end{array}\right]

D−1=∣D∣1​D∗=−2   1​⎣⎡​−1   1−1​   2   0−4​−1−1   2​⎦⎤​=⎣⎡​   21​−21​   21​​−1   0   2​   21​   21​−1​⎦⎤​

例题二

求矩阵

A

A

A 的逆矩阵

A

=

[

1

1

1

4

2

1

9

3

1

]

A=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \\ 9 & 3 & 1 \end{array}\right]

A=⎣⎡​149​123​111​⎦⎤​

抄写后对应的五阶矩阵为：

A

1

=

[

1

1

1

1

1

4

2

1

4

2

9

3

1

9

3

1

1

1

1

1

4

2

1

4

2

]

A_1=\left[\begin{array}{lll} 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 4 & 2 & 1 &4 & 2\\ 9 & 3 & 1 &9 & 3\\ 1 & 1 & 1 &1 & 1\\ 4 & 2 & 1 &4 & 2 \end{array}\right]

A1​=⎣⎢⎢⎢⎢⎡​14914​12312​11111​14914​12312​⎦⎥⎥⎥⎥⎤​

删除后得到的四阶矩阵为：

A

2

=

[

2

1

4

2

3

1

9

3

1

1

1

1

2

1

4

2

]

A_2=\left[\begin{array}{lll} 2 & 1 &4 & 2\\ 3 & 1 &9 & 3\\ 1 & 1 &1 & 1\\ 2 & 1 &4 & 2 \end{array}\right]

A2​=⎣⎢⎢⎡​2312​1111​4914​2312​⎦⎥⎥⎤​

那么对应的伴随矩阵为：

A

∗

=

[

−

1

   

5

−

6

   

2

−

8

   

6

−

1

   

3

−

2

]

⊤

=

[

−

1

   

2

−

1

   

5

−

8

   

3

−

6

   

6

−

2

]

A^*=\left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 5 & -6 \\ \ \ \ 2 & -8 & \ \ \ 6 \\ -1 & \ \ \ 3 & -2 \\ \end{array}\right]^\top= \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 5 & -8 & \ \ \ 3 \\ -6& \ \ \ 6 & -2 \\ \end{array}\right]

A∗=⎣⎡​−1   2−1​   5−8   3​−6   6−2​⎦⎤​⊤=⎣⎡​−1   5−6​   2−8   6​−1   3−2​⎦⎤​

矩阵对应的行列式为

∣

A

∣

=

−

2

|A|=-2

∣A∣=−2，根据公式计算得到逆矩阵：

A

−

1

=

1

∣

A

∣

A

∗

=

   

1

−

2

[

−

1

   

2

−

1

   

5

−

8

   

3

−

6

   

6

−

2

]

=

[

   

1

2

−

1

   

1

2

−

5

2

   

4

−

3

2

   

3

−

3

   

1

2

]

A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{\ \ \ 1}{-2} \left[\begin{array}{lllll} -1 &\ \ \ 2 & -1 \\ \ \ \ 5 & -8 & \ \ \ 3 \\ -6& \ \ \ 6 & -2 \\ \end{array}\right]= \left[\begin{array}{lllll} \ \ \ \frac{1}{2} &-1 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ -\frac{5}{2} &\ \ \ 4 & -\frac{3}{2} \\ \ \ \ 3 & -3 & \ \ \ \frac{1}{2} \\ \end{array}\right]

A−1=∣A∣1​A∗=−2   1​⎣⎡​−1   5−6​   2−8   6​−1   3−2​⎦⎤​=⎣⎡​   21​−25​   3​−1   4−3​   21​−23​   21​​⎦⎤​