【数据结构/C++】 树详解

目录

• 树
• • • 树的定义
    • 树的基本术语
    • 二叉树
    • ⼆叉树的种类
    • • • 满二叉树
        • 完全二叉树
    • 二叉树的性质
    • 二叉树的遍历方法
    • • • 前序遍历
        • 中序遍历
        • 后序遍历
        • 层序遍历
    • 二叉树的实现
    • • • ⼆叉树的定义
        • 使用前序遍历创建二叉树
        • 前序遍历
        • 中序遍历
        • 后序遍历

树

树的定义

  树（Tree）是n（n≥0）个结点的有限集。n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：①有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；②当n>1时，其余结点可分为m（m>0）个互不相交的有限集

T

1

{T}_{1}

T1​、

T

2

{T}_{2}

T2​、… 、

T

m

{T}_{m}

Tm​，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树（Sub Tree）。

树的基本术语

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度；
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点；
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点；
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点；
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点；
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点；
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度；
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次；
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。
• 森林：由m（m>=0）棵互不相交的树的集合称为森林；

二叉树

  二叉树是数据结构中一种重要的数据结构，也是树表家族最为基础的结构。

  二叉树的定义：二叉树的每个结点至多只有二棵子树(不存在度大于2的结点)，二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒。

⼆叉树的种类

⼆叉树有两种主要的形式：满⼆叉树和完全⼆叉树。

满二叉树

在一棵二叉树中，如果所有的分支节点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树成为满二叉树。

完全二叉树

对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i（1 ≤ i ≤ n）的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

二叉树的性质

1. 二叉树的第 i 层至多有

   2

   i

   −

   1

   {2}^{i-1}

   2i−1个结点；

2. 深度为 k 的二叉树至多有

   2

   k

   {2}^{k}

   2k-1个结点；

3. 对任何一棵二叉树T，如果其终端结点的个数（也就是叶子节点数）为

   n

   0

   {n}_{0}

   n0​，度为2的结点个数为

   n

   2

   {n}_{2}

   n2​，则

   n

   0

   {n}_{0}

   n0​=

   n

   2

   {n}_{2}

   n2​+1。（大话数据结构P143）

二叉树的遍历方法

二叉树的遍历方式主要可以分为四种：前序遍历、中序遍历、后序遍历和层序遍历。

前序遍历

简单记为中左右，也就是说先访问根节点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。

遍历的顺序为ABDGHCEIF

中序遍历

简单记为左中右，也就是说先访问二叉树最左边的结点，然后再访问中间的结点，最后再访问右边的结点。·

遍历的顺序为GDHBAEICF

后序遍历

简单记为左右中，也就是说先访问二叉树最左边的结点，然后再访问右边的结点，最后再访问中间的结点。·

遍历的顺序为GHDBIEFCA

层序遍历

从根结点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中·，按从左到右的顺序对结点逐个访问。

遍历的顺序为ABCDEFGHI

前序遍历、中序遍历和后序遍历就是中的位置不一样，前序遍历就是中左右，中序遍历就是左中右，后序遍历就是左右中。

前中后序遍历都是深度搜索，层序遍历是广度搜索。

二叉树的实现

⼆叉树的定义

struct TreeNode {
 	int val;
 	TreeNode *left;
 	TreeNode *right;
 	TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

使用前序遍历创建二叉树

void CreatTreeNode(TreeNode*&T){
    char c;
    cin >> c;
    if(c=='*'){
        T = NULL;
        return;
    }
    else{     
        T = new TreeNode;
        T->val = c;
        CreatTreeNode(T->left);
        CreatTreeNode(T->right);
    }
}

前序遍历

class Solution {
public:
 	void traversal(TreeNode* cur, vector& vec) {
 		if (cur == NULL) return;
 	vec.push_back(cur->val); // 中
 	traversal(cur->left, vec); // 左
 	traversal(cur->right, vec); // 右
 }
 	vector preorderTraversal(TreeNode* root) {
 		vector result;
 		traversal(root, result);
 		return result;
 }
};

中序遍历

void traversal(TreeNode* cur, vector& vec) {
 	if (cur == NULL) return;
 	traversal(cur->left, vec); // 左
 	vec.push_back(cur->val); // 中
 	traversal(cur->right, vec); // 右
}

后序遍历

void traversal(TreeNode* cur, vector& vec) {
 	if (cur == NULL) return;
 	traversal(cur->left, vec); // 左
 	traversal(cur->right, vec); // 右
 	vec.push_back(cur->val); // 中
}

参考文章：使用C++创建二叉树和其基本操作

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