算法(3)——二分查找

一、什么是二分查找

二分查找也称折半查找，是在一组有序(升序/降序)的数据中查找一个元素，它是一种效率较高的查找方法。

二、二分查找的原理

1、查找的目标数据元素必须是有序的。没有顺序的数据，二分法就失去意义。

2、数据元素通常是数值型，可以比较大小。

3、将目标元素和查找范围的中间值做比较（如果目标元素=中间值，查找结束），将目标元素分到较大/或者较小的一组。

4、通过分组，可以将查找范围缩小一半。

5、重复第三步，直到目标元素=新的范围的中间值，查找结束。

三、二分查找模板 

1、朴素二分查找模板

2、一般二分查找模板

四、二分查找经典OJ题

4、1 二分查找

704. 二分查找 – 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

a.
定义
left
，
right
指针，分别指向数组的左右区间。

b.
找到待查找区间的中间点
mid
，找到之后分三种情况讨论：

        i.
arr[mid] == target
说明正好找到，返回
mid
的值

        ii. arr[mid] > target 说明 [mid, right] 这段区间都是⼤于 target 的，因此舍去右边区间，在左边 [left, mid -1] 的区间继续查找，即让 right = mid – 1 ，然后重复 2 过程；

        iii.
arr[mid] < target
说明
[left, mid]
这段区间的值都是⼩于
target
的，因此舍去左边区间，在右边 [mid + 1, right] 区间继续查找，即让
left = mid + 1 ，然后重复 2
过程；

c.
当
left
与
right
错开时，说明整个区间都没有这个数，返回
-1
。

3、算法代码

class Solution {
public:
    int search(vector& nums, int target) 
    {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(lefttarget)
            {
                right=mid-1;
            }
            else if(nums[mid]<target)
            {
                left=mid+1;
            }
            else{
                return mid;
            }
        }
        return -1;
    }
};

4、2 在排序数组中查找元素的第⼀个和最后⼀个位置

34. 在排序数组中查找元素的第一个和最后一个位置 – 力扣（LeetCode）

1、题目描述：

2、算法思路：

⽤的还是⼆分思想，就是根据数据的性质，在某种判断条件下将区间⼀分为⼆，然后舍去其中⼀个

区间，然后再另⼀个区间内查找；

⽅便叙述，⽤
x
表⽰该元素，
resLeft
表⽰左边界，
resRight
表⽰右边界。

寻找左边界：

◦
我们注意到以左边界划分的两个区间的特点：

▪
左边区间
[left, resLeft – 1]
都是⼩于
x
的；

▪
右边区间（包括左边界）
[resLeft, right]
都是⼤于等于
x
的；

•
因此，关于
mid
的落点，我们可以分为下⾯两种情况：

◦
当我们的
mid
落在
[left, resLeft – 1]
区间的时候，也就是
arr[mid] = target
。 说明 [mid + 1, right]
（因为
mid
可能是最终结果，不能舍去）是可以舍去的，此时 更新 right
到
mid
的位置，继续在
[left, mid]
上寻找左边界；

•
由此，就可以通过⼆分，来快速寻找左边界；

注意：这⾥找中间元素需要向下取整。

因为后续移动左右指针的时候：

•
左指针：
left = mid + 1
，是会向后移动的，因此区间是会缩⼩的；

•
右指针：
right = mid
，可能会原地踏步（⽐如：如果向上取整的话，如果剩下
1,2
两个元

素，
left == 1
，
right == 2
，
mid == 2
。更新区间之后，
left
，
right
，
mid
的 值没有改变，就会陷⼊死循环）。

因此⼀定要注意，当
right = mid
的时候，要向下取整。

寻找右边界思路：

◦
⽤
resRight
表⽰右边界；

◦
我们注意到右边界的特点：

▪
左边区间 （包括右边界）
[left, resRight]
都是⼩于等于
x
的；

▪
右边区间
[resRight+ 1, right]
都是⼤于
x
的；

•
因此，关于
mid
的落点，我们可以分为下⾯两种情况：

◦
当我们的
mid
落在
[left, resRight]
区间的时候，说明
[left, mid – 1](mid 不可以舍去，因为有可能是最终结果） 都是可以舍去的，此时更新
left
到
mid 的位置；

◦
当 mid 落在 [resRight+ 1, right]
的区间的时候，说明
[mid, right]
内的元素 是可以舍去的，此时更新 right
到
mid – 1
的位置；

•
由此，就可以通过⼆分，来快速寻找右边界；

注意：这⾥找中间元素需要向上取整。

因为后续移动左右指针的时候：

•
左指针：
left = mid
，可能会原地踏步（⽐如：如果向下取整的话，如果剩下
1,2
两个元

素，
left == 1
，
right == 2
，
mid == 1
。更新区间之后，
left
，
right
，
mid
的值 没有改变，就会陷⼊死循环）。

•
右指针：
right = mid – 1
，是会向前移动的，因此区间是会缩⼩的； 因此⼀定要注意，当 right = mid
的时候，要向下取整。

3、算法代码

class Solution {
public:
    vector searchRange(vector& nums, int target) 
    {
        int begin=0;
        if(nums.size()==0) return {-1,-1};
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(right>left)   //找左端点
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]left)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]<=target) left=mid;
            else right=mid-1;
        }
        return {begin,right};
    }
};

4、3 搜索插入位置

35. 搜索插入位置 – 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

a.
分析插⼊位置左右两侧区间上元素的特点：

设插⼊位置的坐标为
index
，根据插⼊位置的特点可以知道：

•
[left, index – 1]
内的所有元素均是⼩于
target
的；

•
[index, right]
内的所有元素均是⼤于等于
target
的。

b.
设
left
为本轮查询的左边界，
right
为本轮查询的右边界。根据
mid
位置元素的信息，分析下⼀轮查询的区间：

▪
当
nums[mid] >= target
时，说明
mid
落在了
[index, right]
区间上，

mid
左边包括
mid
本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在
[left, mid] 上。因此，更新
right
到
mid
位置，继续查找。

▪
当
nums[mid] < target
时，说明
mid
落在了
[left, index – 1]
区间上， mid 右边但不包括
mid
本⾝，可能是最终结果，所以我们接下来查找的区间在
[mid + 1, right] 上。因此，更新
left
到
mid + 1
的位置，继续查找。

c.
直到我们的查找区间的⻓度变为
1
，也就是
left == right
的时候，
left
或者

right
所在的位置就是我们要找的结果。

3、算法代码

class Solution {
public:
    int searchInsert(vector& nums, int target) 
    {
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(right>left)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]<target) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        if(nums[left]<target) return right+1;
        return right;
    }
};

4、4 X的平方根

69. x 的平方根 – 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

依次枚举
[0, x]
之间的所有数
i
：

（这⾥没有必要研究是否枚举到
x / 2
还是
x / 2 + 1
。因为我们找到结果之后直接就返回

了，往后的情况就不会再判断。反⽽研究枚举区间，既耽误时间，⼜可能出错）

▪
如果
i * i == x
，直接返回
x
；

▪
如果
i * i > x
，说明之前的⼀个数是结果，返回
i – 1
。

由于
i * i
可能超过
int
的最⼤值，因此使⽤
long long
类型

3、算法代码

class Solution {
public:
    int mySqrt(int x) 
    {
        if(xleft)
        {
            long long mid=left+(right-left+1)/2;
            if(mid*mid>x) right=mid-1;
            else left=mid;
        }
        return left;
    }
};

4、5 山峰数组的峰顶

852. 山脉数组的峰顶索引 – 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

峰顶的特点：⽐两侧的元素都要⼤。

因此，我们可以遍历数组内的每⼀个元素，找到某⼀个元素⽐两边的元素⼤即可

3、算法代码

class Solution {
public:
    int peakIndexInMountainArray(vector& arr) 
    {
        for(int i=1;iarr[i-1]&&arr[i]>arr[i+1])
            {
                return i;
            } 
            
        }
        return 0;
    }
};

4、5 寻找峰值   

162. 寻找峰值 – 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路寻找⼆段性：

任取⼀个点
i
，与下⼀个点
i + 1
，会有如下两种情况：

•
arr[i] > arr[i + 1]
：此时「左侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最左侧是负⽆穷），那么我们可以去左侧去寻找结果；

•
arr[i] < arr[i + 1]
：此时「右侧区域」⼀定会存在⼭峰（因为最右侧是负⽆穷），那么我们可以去右侧去寻找结果。

当我们找到「⼆段性」的时候，就可以尝试⽤「⼆分查找」算法来解决问题。

3、算法代码

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector& nums) 
    {
        vector ret;
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(right>left)
        {
            int mid=left+(right-left+1)/2;
            if(nums[mid]>nums[mid-1]) left=mid;
            else right=mid-1;

        }
        return left;
    }
};

4、6 寻找旋转排序数组中的最⼩值

153. 寻找旋转排序数组中的最小值 – 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

题⽬中的数组规则如下图所示：

其中
C
点就是我们要求的点。

⼆分的本质：找到⼀个判断标准，使得查找区间能够⼀分为⼆。

通过图像我们可以发现，
[A
，
B]
区间内的点都是严格⼤于
D
点的值的，
C
点的值是严格⼩于 D
点的值的。但是当
[C
，
D]
区间只有⼀个元素的时候，
C
点的值是可能等于
D
点的值的。

因此，初始化左右两个指针
left
，
right
：然后根据 mid
的落点，我们可以这样划分下⼀次查询的区间：

▪
当
mid
在
[A
，
B]
区间的时候，也就是
mid
位置的值严格⼤于
D
点的值，下⼀次查询区间在 [mid + 1
，
right]
上；

▪
当
mid
在
[C
，
D]
区间的时候，也就是
mid
位置的值严格⼩于等于
D
点的值，下次查询区间在 [left
，
mid]
上。

当区间⻓度变成
1
的时候，就是我们要找的结果。

3、算法代码 

class Solution {
public:
    int findMin(vector& nums) 
    {
        int tmp=nums[nums.size()-1];
        int left=0,right=nums.size()-1;
        while(right>left)
        {
            int mid=left+(right-left)/2;
            if(nums[mid]>tmp) left=mid+1;
            else right=mid;
        }
        return nums[left];
    }
};

4、7 0~n-1缺失的数字

LCR 173. 点名 – 力扣（LeetCode）

1、题目描述

2、算法思路

关于这道题中，时间复杂度为
O(N)
的解法有很多种，⽽且也是⽐较好想的，这⾥就不再赘述。

本题只讲解⼀个最优的⼆分法，来解决这个问题。

在这个升序的数组中，我们发现：

▪
在第⼀个缺失位置的左边，数组内的元素都是与数组的下标相等的；

▪
在第⼀个缺失位置的右边，数组内的元素与数组下标是不相等的。

因此，我们可以利⽤这个「⼆段性」，来使⽤「⼆分查找」算法。

3、算法代码

class Solution {
public:
    int takeAttendance(vector& records) 
    {
        int left=0,right=records.size()-1,k=0;
        while(right>left)
        {
            int mid = left+(right-left)/2;
            if(records[mid]!=mid) right=mid;
            else left=mid+1;
        }
        return left==records[left]?left+1:left;
    }